Integrale doppio con opportuno cambio di variabile
Salve a tutti...sono nuovo, mi chiamo Roberto. Pochi giorni fa ho sostenuto l'esame di Analisi II e per accedere all'orale ho bisogno di risolvere questo integrale...che non è tanto difficile capirlo...ma mi risulta difficile risolverlo.Potreste aiutarmi ???
$\int e^(1/x) dx$
Ho provato per sostituzione e per parti...ma mi viene uno svolgimento che si itera sempre. Grazie in anticipo
$\int e^(1/x) dx$
Ho provato per sostituzione e per parti...ma mi viene uno svolgimento che si itera sempre. Grazie in anticipo
Risposte
Quello proposto non è un integrale indefinito elementare, ossia non si risolve con le usuali tecniche di Analisi I e II.
Quindi, sei sicuro del testo?
Oppure, sei sicuro che quell'integrale indefinito andasse calcolato per risolvere il problema?
Quindi, sei sicuro del testo?
Oppure, sei sicuro che quell'integrale indefinito andasse calcolato per risolvere il problema?
Questo è il risultato di un integrale doppio avendo cambiato le variabili. Può darsi che abbia sbagliato a fare i conti...quindi posto il problema iniziale così da mostrare il testo completo.
Facendo un opportuno cambio di variabili, calcolare il seguente integrale doppio: $int int e^[(x-y)/(x+y)] dxdy$
dove $D=[ (x,y) in RR^2$ : $x>=0$, $y>=0$, $2<=x+y<=3]$
Ho apportato come camiamento di variabili $\{(u=x+y), (v=x-y) :}$
L'integrale postato da me in precedenza è un fac-simile di cosa mi esce cambiando variabili e dominio. Grazie ancora dell'aiuto.
Facendo un opportuno cambio di variabili, calcolare il seguente integrale doppio: $int int e^[(x-y)/(x+y)] dxdy$
dove $D=[ (x,y) in RR^2$ : $x>=0$, $y>=0$, $2<=x+y<=3]$
Ho apportato come camiamento di variabili $\{(u=x+y), (v=x-y) :}$
L'integrale postato da me in precedenza è un fac-simile di cosa mi esce cambiando variabili e dominio. Grazie ancora dell'aiuto.
Scusa un attimo potresti riporare i conti che hai fatto? Dopo aver fatto il cambio di variabili come ti esce l'integrale, com'è il dominio rispetto a $u$ e $v$?
Ho scritto tutto in funzione di u e v avendo questi risultati: $\{ (x=(u+v)/2), (y=(u-v)/2) :}$
Faccio il determinante jacobiano ed esce $1/2 dudv$
Il dominio inoltre sostituisco i miei parametri in u e v nel dominio D e mi esce: $\{ (v>=-u), (v<=u), (u=2), (u=3) :}$
Quindi o lo faccio normale ad u (corrispondente asse x) o normale rispetto a v quell'integrale postato mi esce sempre. O prima o dopo devo sempre risolverlo.
Però ho un aiuto nel senso che il libro di Analisi II Marcellini - sbordone risolve il mio stesso integrale (ma relativo ad un altro ex) con il risultato di $ ve^(u/v)$. Molto probabimente lui lo ha fatto normale all'asse v e facendolo per parti....ma non mi dà lo svolgimento.
Ho provato anche io a farlo ma lui come estremi ha delle funzioni che sostituite mi danno un integrale semplice. Facendolo rispetto a v e sperando di aver fatto bene i calcoli a me risultano estremi di integrazione delle costanti...quindi non mi semplificano proprio niente lasciandomi da svolgere addirittura due integrali del genere.
Sto uscendo pazzo...credimi !!!
Faccio il determinante jacobiano ed esce $1/2 dudv$
Il dominio inoltre sostituisco i miei parametri in u e v nel dominio D e mi esce: $\{ (v>=-u), (v<=u), (u=2), (u=3) :}$
Quindi o lo faccio normale ad u (corrispondente asse x) o normale rispetto a v quell'integrale postato mi esce sempre. O prima o dopo devo sempre risolverlo.
Però ho un aiuto nel senso che il libro di Analisi II Marcellini - sbordone risolve il mio stesso integrale (ma relativo ad un altro ex) con il risultato di $ ve^(u/v)$. Molto probabimente lui lo ha fatto normale all'asse v e facendolo per parti....ma non mi dà lo svolgimento.
Ho provato anche io a farlo ma lui come estremi ha delle funzioni che sostituite mi danno un integrale semplice. Facendolo rispetto a v e sperando di aver fatto bene i calcoli a me risultano estremi di integrazione delle costanti...quindi non mi semplificano proprio niente lasciandomi da svolgere addirittura due integrali del genere.
Sto uscendo pazzo...credimi !!!
Non mi piace molto il tuo dominio....
Allora, se non ho fatto errori, l'ho risolto così:
[tex]$\begin{cases}u=x+y\\v=x-y\end{cases}$[/tex] da cui [tex]$\begin{cases}x=\frac{u+v}{2}\\y=\frac{u-v}{2}\end{cases}$[/tex], il modulo del determinate Jacobiano è [tex]$1/2$[/tex], quindi il cambio di variabili l'abbiamo fatto entrambi allo stesso modo.
Il dominio in [tex]$x,y$[/tex] è [tex]$\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\2 \le x+y\le 3\end{cases}$[/tex], quindi sostituendo si ha [tex]$\begin{cases}v\ge -u\\v\le u\\2 \le u\le 3\end{cases}$[/tex]
Quindi nel piano [tex]$uOv$[/tex] si ha un trapezio isoscele ruotato di [tex]$90°$[/tex], con $2\le u\le 3$ e $-u\le v\le u$, quindi
[tex]$\iint_D e^{\tfrac{x-y}{x+y}} dxdy = \frac{1}{2}\int_2^3 \left(\int_{-u}^{u} e^{\tfrac{v}{u}} dv\right) du = \frac{1}{2}\int_2^3 \left[u e^{\tfrac{v}{u}} \right]_{-u}^{u} du = \frac{e - e^{-1}}{2}\int_2^3 u\,du$[/tex]
che si risolve facilmente.
Allora, se non ho fatto errori, l'ho risolto così:
[tex]$\begin{cases}u=x+y\\v=x-y\end{cases}$[/tex] da cui [tex]$\begin{cases}x=\frac{u+v}{2}\\y=\frac{u-v}{2}\end{cases}$[/tex], il modulo del determinate Jacobiano è [tex]$1/2$[/tex], quindi il cambio di variabili l'abbiamo fatto entrambi allo stesso modo.
Il dominio in [tex]$x,y$[/tex] è [tex]$\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\2 \le x+y\le 3\end{cases}$[/tex], quindi sostituendo si ha [tex]$\begin{cases}v\ge -u\\v\le u\\2 \le u\le 3\end{cases}$[/tex]
Quindi nel piano [tex]$uOv$[/tex] si ha un trapezio isoscele ruotato di [tex]$90°$[/tex], con $2\le u\le 3$ e $-u\le v\le u$, quindi
[tex]$\iint_D e^{\tfrac{x-y}{x+y}} dxdy = \frac{1}{2}\int_2^3 \left(\int_{-u}^{u} e^{\tfrac{v}{u}} dv\right) du = \frac{1}{2}\int_2^3 \left[u e^{\tfrac{v}{u}} \right]_{-u}^{u} du = \frac{e - e^{-1}}{2}\int_2^3 u\,du$[/tex]
che si risolve facilmente.
Sul dominio hai ragione...ho sbagliato...dovevo srivere come te. Ed inoltre avrò sbagliato qualche stupido calcolo che ora rifacendolo non ho fatto.
Cmq voglio ringraziarvi non solo per questa risoluzione e della celerità ma anche perchè questo è un bel sito per la matematica...è be strutturato e mi piace assai. Molte volte mi sono imbattuto inquesto sito ma per pigrizia non mi sono mai iscritto e non ho mai visto di cosa si trattava. Spero di condividere un sacco di "problemi" con voi e spero di imparare anche un sacco di nuove nozioni o semplicemente dimenticate. Grazie !!
Cmq voglio ringraziarvi non solo per questa risoluzione e della celerità ma anche perchè questo è un bel sito per la matematica...è be strutturato e mi piace assai. Molte volte mi sono imbattuto inquesto sito ma per pigrizia non mi sono mai iscritto e non ho mai visto di cosa si trattava. Spero di condividere un sacco di "problemi" con voi e spero di imparare anche un sacco di nuove nozioni o semplicemente dimenticate. Grazie !!
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