Integrale doppio con modulo nel dominio

[Leira1]

Salve ! Ho un problema con questo integrale:
Sia $ D:{(x,y) \in R^2 : |x|+|y| \leq 2 } $ . Calcola $ int int_(D) x dx dy $ .
Sono sicura che ho sbagliato nel dividere il dominio ( purtroppo con i moduli non sono molto ferrata, è una mia mancanza che cercherò di recuperare)
io ho fatto che $ -2+|y| \leq |x| \leq 2- |y| $ e $ -2+|x| \leq |y| \leq 2- |x| $ . quindi ho pensato che si potesse fare, semplicemente che $ -2+y \leq x \leq 2- y $ e $ -2+x \leq y \leq 2- x $
quindi $ int int_(-2+y)^(2-y) x dx dy $ $ rArr int_(-2+x)^(2-x) (((2-y)^2/2) -((-2+y)^2/2) dx = 0 $
e ovviamente mi viene tutto zero, ma non penso proprio sia possibile, ovviamente avrei dovuto dividere il modulo in qualche modo che adesso mi sfugge. Se qualcuno fosse così gentile da spiegarmi in maniera basilare e dettagliata come risolvere il modulo e l'integrale, gli sarei molto grata! Spero sia tutto chiaro. Grazie mille e buona giornata

[gugo82]

L’integrale è nullo per motivi di simmetria, non serve nemmeno calcolarlo.

Ad ogni buon conto, l’impostazione dell’integrale è sbagliata, perché sbagli a scrivere il dominio.
Hai fatto un disegno?

[Leira1]

graficamente dovrebbe essere un rombo,sbaglio? comunque non riesco a sbrogliarlo, potresti per favore come avrei dovuto sbrogliarlo? ( al di là del fatto che era zero perché simmetrico?) anche perché dopo ho lo stesso integrale con lo stesso dominio solo che la funzione invece di essere $ x $ , è $|x|$ quindi mi piacerebbe capire come farlo, grazie mille

[gugo82]

Sbagli.
È un quadrato:
[asvg]xmin =-3; xmax =3; ymin =-3; ymax =3;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth =2;
path([[2,0],[0,2],[-2,0],[0,-2],[2,0]]);[/asvg]
La frontiera è semplice da descrivere e si possono applicare le formule di riduzione.
Come è scritta la formula di riduzione per domini normali?

[Leira1]

non lo so... non ne abbiamo mai parlato in aula, a meno che non l'abbia chiamata in qualche modo particolare

[gugo82]

Mi pare francamente impossibile che non ne abbiate parlato.
Il libro che dice? Che libro usi?

[Leira1]

il problema è proprio quello... Il mio professore è molto superficiale e poco preciso quando spiega, e inoltre non voleva assolutamente usassimo libri,quindi sto studiando come posso dagli appunti.Inoltre non è un tipo che fa molti esempi, e ho anche pochissimi esercizi su cui studiare. Lui sugli integrali doppi ci ha detto " dovete integrare due volte" e ci ha fatto un esempio dove ci dava un dominio scritto nel tipo " 3

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[gugo82]

Allora prendi un libro e studia.
Di testi di Analisi II buoni ed anche ottimi sono piene le biblioteche universitarie: aspettano gli studenti volenterosi che li prendano in prestito...

Cosa studi? Dove?
Così ti possiamo consigliare un testo sensato.

[Leira1]

Studio Statistica alla Sapienza di Roma. Se per caso sai anche di qualche dispensa buona ( non troppo complicata a livello "matematico" ) online, mi faresti un gran favore... Purtroppo ( ho già avuto modo di essere attaccata per questo pensiero) io senza materiale su cui studiare mi trovo un po' persa

PS: Potresti darmi qualche consiglio su come sbrogliare il modulo ( sia nel dominio che nella funzione stessa ) di un integrale doppio? oppure se trovi "esercizi" tipo su cui studiare. Ne ho cercati alcuni online ma spesso rispondevano in maniera poco chiara o erano funzioni così complicate dove non elargivano troppi consigli su questo

[gugo82]

"Leira":Studio Statistica alla Sapienza di Roma. Se per caso sai anche di qualche dispensa buona ( non troppo complicata a livello "matematico" ) online, mi faresti un gran favore... Purtroppo ( ho già avuto modo di essere attaccata per questo pensiero) io senza materiale su cui studiare mi trovo un po' persa

È del tutto ovvio che senza riferimenti ti senta persa... Lascia perdere ciò che ti dicono gli utenti del forum meno avvezzi a dare consigli in merito.

Dispense, a parte quelle ottime di Acquistapace di Pisa, non me ne vengono in mente.
Potresti studiare dal Marcellini & Sbordone, che è sensatamente semplice. Prendi l’edizione pre-riforma, però, perché quella “ridotta per i nuovi ordinamenti” è davvero brutta.

"Leira":PS: Potresti darmi qualche consiglio su come sbrogliare il modulo ( sia nel dominio che nella funzione stessa ) di un integrale doppio? oppure se trovi "esercizi" tipo su cui studiare. Ne ho cercati alcuni online ma spesso rispondevano in maniera poco chiara o erano funzioni così complicate dove non elargivano troppi consigli su questo

Questa è roba da Analisi I...

Esplicitando $|x| + |y| <= 2$ rispetto ad $y$ trovi $|x| - 2 <= y <= 2 - |x|$ ed il primo membro è minore od uguale al terzo solo se $-2 <= x <= 2$; dunque:
\[
D := \Big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:\ -2\leq x \leq 2 \text{ e } |x| - 2 \leq y \leq 2 - |x|\Big\}\; .
\]

Per quanto riguarda gli integrali in generale, cerca di fare meno conti possibile, usando quando puoi le simmetrie di dominio ed integrando.
Nel caso dell’integrale di $|x|$, ti basta osservare che l’integrale su $D$ è il quadruplo dell’integrale della funzione esteso alla sola porzione di $D$ nel primo quadrante.

[Leira1]

hai ragione sul fatto che è di analisi1, purtroppo mi sono portata dietro alcune lacune che sto cercando di colmare, grazie mille per le spiegazioni

[Leira1]

"Leira":PS: Potresti darmi qualche consiglio su come sbrogliare il modulo ( sia nel dominio che nella funzione stessa ) di un integrale doppio? oppure se trovi "esercizi" tipo su cui studiare. Ne ho cercati alcuni online ma spesso rispondevano in maniera poco chiara o erano funzioni così complicate dove non elargivano troppi consigli su questo

Questa è roba da Analisi I...

Esplicitando $|x| + |y| <= 2$ rispetto ad $y$ trovi $|x| - 2 <= y <= 2 - |x|$ ed il primo membro è minore od uguale al terzo solo se $-2 <= x <= 2$; dunque:
\[
D := \Big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:\ -2\leq x \leq 2 \text{ e } |x| - 2 \leq y \leq 2 - |x|\Big\}\; .
\]

Per quanto riguarda gli integrali in generale, cerca di fare meno conti possibile, usando quando puoi le simmetrie di dominio ed integrando.
Nel caso dell’integrale di $|x|$, ti basta osservare che l’integrale su $D$ è il quadruplo dell’integrale della funzione esteso alla sola porzione di $D$ nel primo quadrante.[/quote]

Perdonami però non capisco... una volta che ho trovato quelle soluzioni per il dominio, come estremi di integrazione del mio integrale, metto in uno -2

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[gugo82]

Te l'ho detto: sarebbe meglio se prendessi un testo e studiassi da lì.
Se proprio non hai idea di dove e come metter mano, non la puoi certo acquisire vedendo come altri risolvono esercizi.

[Leira1]

"gugo82":Te l'ho detto: sarebbe meglio se prendessi un testo e studiassi da lì.
Se proprio non hai idea di dove e come metter mano, non la puoi certo acquisire vedendo come altri risolvono esercizi.

In verità vedere esempi , anche in altre materie, mi aiuta a capire meglio. Fondamentalmente tutte le cose basilari che trovo sul modulo sui testi le so già, non mi è chiaro come maneggiarlo in questo modo e un esempio aiuterebbe ma in rete si trovano tutti esempi complessi o esempi di casi particolari. Ma comunque non fa nulla, grazie lo stesso