Integrale doppio con modulo.

[gedo1991]

Salve ragazzi, io avrei quest integrale:
$int_(A)|x^2+y^2-1/2|$, dove A è il triangolo di vertici (0,0) (1,0) e (1,-1).Non so come procedere ho rappresentato graficamente il dominio che risulta normale all asse y, ma come vado avanti?c'è qualcuno che può aiutarmi?

[ciampax]

Devi verificare quando, sul dominio di integrazione, l'argomento del modulo risulti positivo o negativo. Pensa a cosa rappresenta, quell'argomento, nel piano, e rifletti un po'.

[gedo1991]

é una circonferenza giusto?

[ciampax]

Sì, esatto. Ora come procedi? Suggerimento: ti consiglio di disegnare, per bene, il dominio e questa circonferenza insieme per capire come comportarti.

[gedo1991]

Ho disegnato la circonferenza e il dominio, per bene... ma temo di aver bisogno di un altro aiutino...

[ciampax]

Sì, però se almeno non ci provi non andrai da nessuna parte. Allora, la circonferenza ha centro nell'origine e raggio $\frac{\sqrt{2}}{2}$. I punti interni sono quelli per cui l'argomento del valore assoluto è negativo, mentre quelli esterni sono quelli dove l'argomento del valore assoluto è positivo. Ora questo fatto divide il dominio in due parti: un triangolo curvilineo con un vertice nell'origine sul quale l'argomento del modulo è negativo e un quadrilatero mistilineo sul quale l'argomento del modulo è positivo. A questo punto dovrai spezzare il tuo integrale in due, uno per ognuno di questi domini, avendo cura di sostituire la funzione da integrare con $-f$ sul primo dominio e con $f$ sul secondo, dove con $f$ ho indicato l'argomento del modulo.

[gedo1991]

Non ho mai trovato integrali doppi così difficili analiticamente parlando.Provo comunque ad arrivare a una conclusione e ti chiedo di perdonarmi per eventuali cavolate .

Allora io ho pensato di spezzare il dominio in questo modo:

$ 0<=x<=sqrt2/2$ $0<=y<=x^2+y^2-1/2$

la funzione integranda vale:

$-x^2-y^2+1/2$

ma per quanto riguarda quel quadrilatero come mi comporto?

[ciampax]

Io ti consiglierei di pensarlo in coordinate polari: la cosa diventa più semplice. E comunque la limitazione per $y$ che hai scritto non ha senso (spero te ne renda conto da solo).

[gedo1991]

Scusa ma sto andando nel pallone.
La limitazione corretta dovrebbe essere

$ -x<=y<=x^2+y^2-1$ a meno che.. io non insista con le cavolate!...

[gedo1991]

No altra cavolata! mi correggo da solo xD

[gedo1991]

$-x<=y<=sqrt(-x^2+1/2)$ ?

[ciampax]

Non ci siamo proprio. Per prima cosa non rifletti sul fatto che né il triangolo curvilineo, né il quadrilatero mistilineo siano domini normali rispetto ad una delle variabili. Secondo, io ti ho consigliato di passare in coordinate polari.
Pensaci un po' su e poi ne riparliamo.

[gedo1991]

Ma se non sono domini normali, come posso mai risolvere un integrale doppio?E cosa dovrei trasformare in coordinate polari? Non arrivo a capirti, purtroppo.Se puoi darmi una mano (non dico di farmi l'esercizio) ma di spiegarmi i passaggi fondamentali per la risoluzione te ne sarò immensamente grato.

[gedo1991]

Ciampax forse sono arrivato a una soluzione per quanto riguarda il triangolo curvilineo.Passando in coordinate polari.Si avrebbe che $0<=rho<=sqrt2/2$.Mentre teta varia tra 0 e $pi/4$(visto che la retta che passa per i punti (0,0)e(1,-1) è proprio la bisettrice).Mi sembra una cosa molto sensata.Mi rimane il problema di quel quadrilatero...

[ciampax]

la tua osservazione è corretta, però hai $-\frac{\pi}{4}\le\theta\le 0$, in quanto il triangolo si trova nel quarto quadrante (come hai fatto il disegno?). Per quanto riguarda il quadrilatero, osserva che la limitazione per $\theta$ è sempre la stessa (infatti devi andare dall'asse x fino alla bisettrice del IV quadrante). per quanto riguarda $\rho$, il valore minimo è quello che ottieni percorrendo l'arco di circonferenza, e quindi $\frac{\sqrt{2}}{2}$, mentre la limitazione superiore la ottieni quando ti trovi sul segmento $x=1$, dove si ha $\rho\cos\theta=1$ e quindi $\rho=\frac{1}{\cos\theta}$, pertanto per il quadrilatero $\frac{\sqrt{2}}{2}\le \rho\le\frac{1}{\cos\theta}$.