Integrale doppio con modulo

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi l integrale in questione e questo

$\int\int_(D)xe^(x)e^(|y-x^2+1|)$ dove $D=x^2-10)$

prima cosa grafico il domino e scrivo il mio dominio di rispetto a Y ma visto che nel dominio è compreso sia il 1 e il 4 quadrante allora lo divido in due sotto dominii D1 e D2

$D1=(1 $D2=(0
poi studio il valore ass.

quindi ${(y-x^2+1 if y-x^2+1>0),(-y+x^2-1 if y-x^2+1<0):}$

teoricamente mi dovrebbero uscire due integrali su D quindi 4 integrali rispettivamente su D1 e D2 ma praticamente
essendo le condizioni del valore assoluto rispettivamente se positiva $y-x^2+1>0$ se negativa $y-x^2+1<0$ ma considerato il mio dominio D cioe $y>x^2-1$ (area sopra la parabola ) quinidi integrale della parte negativa del modulo non si deve svolgere risparmiandomi altri 2 integrali quinidi mi esce

$\int\int_(D1) xe^(x)e^(y-x^2+1)+\int\int_(D2) xe^(x)e^(y-x^2+1)$

giusta la mia analisi?? Poi ho provato a fare questo integrale ma non mi riesce ho provato per parti ma non riesco a trovare la primitiva

ps e la prima volta che incontro il modulo in due dimensioni

[ciampax]

Ti complichi la vita inutilmente. Osservando che sul dominio $D$ vale la condizione $y> x^2-1$puoi concludere che l'argomento del valore assoluto risulta sempre positivo e pertanto l'integrale diventa
$$\iint_D x e^x e^{y-x^2+1}\ dx\ dy=\iint_D x e^{y+x-x^2+1}\ dx\ dy$$
D'altra parte il dominio è già normalizzato: quello che devi fare è trovare l'intersezione tra le curve $y=x^2-1$ e $y=1-x$ (sotto la condizione $x>0$) per comprendere la limitazione da dare a $x$ stessa (un disegno aiuterebbe). Poiché si ha il solo punto di intersezione $A(1,0)$, possiamo scrivere
$$\int_0^1\int_{x^2-1}^{1-x} x e^{x-x^2+1} e^y\ dy\ dx=\int_0^1 x e^{x-x^2+1}\left[e^{y}\right]_{x^2-1}^{1-x}\ dx=\\ \int_0^1 x e^{x-x^2+1}\left(e^{1-x}-e^{x^2-1}\right)\ dx=\int_0^1 x e^{2-x^2}\ dx-\int_0^1 x e^x\ dx$$
e a questo punto credo che tu possa sbrigartela da solo.