Integrale doppio con modulo

djanthony931
Ciao a tutti ho problemi a risolvere questo integrale doppio:

\(\displaystyle \int \left | x^2 + y^2 + \frac{1}{2} \right | dx dy \) con D dominio il triangolo di vertici (0,0), (1,0) e (1,-1)

Quello che ho fatto è stato suddividere il dominio in due parti per il modulo:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}\\
x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}\\
\end{matrix}\right. \)

Così, passando alle coordinate polari, per la seconda disequazione:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
0 \leq \rho \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{matrix}\right. \)

E mi esce lo stesso per il primo dominio, però ho sicuramente sbagliato perchè confrontandomi con una soluzione vedo che rho dovrebbe essere:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \rho \leq \frac{1}{cos\theta}\\
\end{matrix}\right. \)

Per quale motivo?

Risposte
Quinzio
Spiegaci tu il perchè di questa tua affermazione: "E mi esce lo stesso per il primo dominio".
Perchè ne sei convinto ?

djanthony931
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}\\ x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}\\ \end{matrix}\right. \)

Perchè sostituendo x e y in coordinate polari mi trovo:

\(\displaystyle \rho^2cos^2\theta + \rho^2sin^2\theta \geq \frac{1}{2} = \rho^2 \geq \frac{1}{2} = \rho \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Però, come ho detto prima, uno non mi convince, due sicuramente ho sbagliato, quindi non so come esprimere \(\displaystyle \rho \) per l'integrale doppio del secondo dominio :(

djanthony931
\(\displaystyle up \)

Noisemaker
scusa ma hai notato che \[x^2+y^2+1/2=|x^2+y^2+1/2|\]

djanthony931
quindi basta semplicemente eliminare il valore assoluto??

djanthony931
EDIT: ho sbagliato a scrivere la funzione, non è +1/2 ma -1/2, altrimenti sarebbe stato banale togliere il modulo dato che la funzione è sempre positiva per ogni (x,y)!!

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