Integrale doppio con modulo
Ciao a tutti ho problemi a risolvere questo integrale doppio:
\(\displaystyle \int \left | x^2 + y^2 + \frac{1}{2} \right | dx dy \) con D dominio il triangolo di vertici (0,0), (1,0) e (1,-1)
Quello che ho fatto è stato suddividere il dominio in due parti per il modulo:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}\\
x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}\\
\end{matrix}\right. \)
Così, passando alle coordinate polari, per la seconda disequazione:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
0 \leq \rho \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{matrix}\right. \)
E mi esce lo stesso per il primo dominio, però ho sicuramente sbagliato perchè confrontandomi con una soluzione vedo che rho dovrebbe essere:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \rho \leq \frac{1}{cos\theta}\\
\end{matrix}\right. \)
Per quale motivo?
\(\displaystyle \int \left | x^2 + y^2 + \frac{1}{2} \right | dx dy \) con D dominio il triangolo di vertici (0,0), (1,0) e (1,-1)
Quello che ho fatto è stato suddividere il dominio in due parti per il modulo:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}\\
x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}\\
\end{matrix}\right. \)
Così, passando alle coordinate polari, per la seconda disequazione:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
0 \leq \rho \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{matrix}\right. \)
E mi esce lo stesso per il primo dominio, però ho sicuramente sbagliato perchè confrontandomi con una soluzione vedo che rho dovrebbe essere:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-\frac{\pi }{4} \leq \theta \leq 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \rho \leq \frac{1}{cos\theta}\\
\end{matrix}\right. \)
Per quale motivo?
Risposte
Spiegaci tu il perchè di questa tua affermazione: "E mi esce lo stesso per il primo dominio".
Perchè ne sei convinto ?
Perchè ne sei convinto ?
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}\\ x^2 + y^2 \leq \frac{1}{2}\\ \end{matrix}\right. \)
Perchè sostituendo x e y in coordinate polari mi trovo:
\(\displaystyle \rho^2cos^2\theta + \rho^2sin^2\theta \geq \frac{1}{2} = \rho^2 \geq \frac{1}{2} = \rho \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Però, come ho detto prima, uno non mi convince, due sicuramente ho sbagliato, quindi non so come esprimere \(\displaystyle \rho \) per l'integrale doppio del secondo dominio
Perchè sostituendo x e y in coordinate polari mi trovo:
\(\displaystyle \rho^2cos^2\theta + \rho^2sin^2\theta \geq \frac{1}{2} = \rho^2 \geq \frac{1}{2} = \rho \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Però, come ho detto prima, uno non mi convince, due sicuramente ho sbagliato, quindi non so come esprimere \(\displaystyle \rho \) per l'integrale doppio del secondo dominio
\(\displaystyle up \)
scusa ma hai notato che \[x^2+y^2+1/2=|x^2+y^2+1/2|\]
quindi basta semplicemente eliminare il valore assoluto??
EDIT: ho sbagliato a scrivere la funzione, non è +1/2 ma -1/2, altrimenti sarebbe stato banale togliere il modulo dato che la funzione è sempre positiva per ogni (x,y)!!
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