Integrale doppio con iperboli e rette

[Haarp]

Ciao a tutti! Ho un problema nello svolgimento di un integrale doppio, del quale ne allego a piè la traccia.

In effetti, disegnando il dominio così come compare, sembra un po' ostico da portare avanti senza un cambio di coordinate. Per cui ho scelto le seguenti: $ { ( u=x^2-y^2 ),( v=y ):} $

Calcolo lo Jacobiano, svolgo l'integrale prima in $ dv $ , prima di rendermi conto che la seconda condizione del dominio è impossibile da scrivere in forma normale con questo cambiamento, dato che la x porta con sè sia u che v.
In più, non posso dividerla per x, dato che la terza condizione me lo impedisce.

Consigli? Grazie a chiunque risponderà!

[gugo82]

Hai provato la sostituzione:
\[
\left\{ \begin{split} u &= x^2 -y^2\\ v &= \frac{y}{x}\end{split}\right. \; ?
\]

[Haarp]

Ciao, intanto grazie per la risposta!
Ci avevo pensato, ma la terza condizione mi fa capire che x può essere 0, quindi y/x non sarebbe una soluzione coerente per tutto il dominio. Sbaglio?

[Koller1]

la retta x=0 è un insieme di misura nulla e quindi, per quanto ne so, la puoi ignorare

[gugo82]

"Haarp":la terza condizione mi fa capire che x può essere 0, quindi y/x non sarebbe una soluzione coerente per tutto il dominio. Sbaglio?

Sì, perchè il dominio non contiene alcuna parte dell'asse \(y\), ergo \(x<0\) in \(D\).

D'altra parte, che i punti della retta d'equazione \(x=0\) non appartengano al cominio \(D\) segue dalla prima condizione: infatti, se fosse \(x=0\) ti troveresti a dover soddisfare \(1/9\leq -y^2\leq 1/4\), che è chiaramente impossibile.

Morale della favola: fare un disegnino aiuta sempre.

[Haarp]

Gentilissimo. Grazie!