Integrale doppio con Gauss-Green?
Ciao a tutti quanti!
Sto cercando di risolvere un integrale doppio il cui dominio è dato da un trapezio T con coordinate:
$T_1 = (1,0)$
$T_2 = (1,1)$
$T_3 = (3,0)$
$T_4 = (3,3)$
Il cui integrale è:
$\int_{T}^{} 1/(x^2+y^2) dxdy$
Lo imposto in questo modo:
$T={ (x,y) in RR^2 : 1<=x<=3 vv 0 <= y <= 3}$
Quindi dovrei risolvere l'integrale:
$\int_1^3 int_0^3 1/(x^2+y^2) dxdy$
Dove $dx$ è integrato tra $1$ e $3$ e $dy$ tra $0$ e $3$
A me viene da dire (magari erroneamente) che potrei risolvere questo integrale attraverso il teorema di Gauss-Green, con
$(delB(x,y))/(delx)-(delA(x,y))/(dely) = 1/(x^2+y^2)$
Ho provato a porre $A = 0$, dicendo quindi che $(delB(x,y))/(delx)= 1/(x^2+y^2)$, nel tentativo di trovare $B$.
Quindi ho raccolto $y^2$ per vederlo nella forma : $(delB(x,y))/(delx)= 1/y^2 * 1/(1+ x^2/y^2)$.
In questo caso $B = arctan(x/y)/y + k(y)$ e pongo per comodità $k(y) = 0$.
Quindi avrei un campo vettoriale dato da: $F = (0, arctan(x/y)/y)$.
Nel caso $miracoloso$ in cui fino a qui io avessi fatto tutto giusto, qualcuno è in grado di dirmi continuare?
Io da questo punto mi sento perso!](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Sto cercando di risolvere un integrale doppio il cui dominio è dato da un trapezio T con coordinate:
$T_1 = (1,0)$
$T_2 = (1,1)$
$T_3 = (3,0)$
$T_4 = (3,3)$
Il cui integrale è:
$\int_{T}^{} 1/(x^2+y^2) dxdy$
Lo imposto in questo modo:
$T={ (x,y) in RR^2 : 1<=x<=3 vv 0 <= y <= 3}$
Quindi dovrei risolvere l'integrale:
$\int_1^3 int_0^3 1/(x^2+y^2) dxdy$
Dove $dx$ è integrato tra $1$ e $3$ e $dy$ tra $0$ e $3$
A me viene da dire (magari erroneamente) che potrei risolvere questo integrale attraverso il teorema di Gauss-Green, con
$(delB(x,y))/(delx)-(delA(x,y))/(dely) = 1/(x^2+y^2)$
Ho provato a porre $A = 0$, dicendo quindi che $(delB(x,y))/(delx)= 1/(x^2+y^2)$, nel tentativo di trovare $B$.
Quindi ho raccolto $y^2$ per vederlo nella forma : $(delB(x,y))/(delx)= 1/y^2 * 1/(1+ x^2/y^2)$.
In questo caso $B = arctan(x/y)/y + k(y)$ e pongo per comodità $k(y) = 0$.
Quindi avrei un campo vettoriale dato da: $F = (0, arctan(x/y)/y)$.
Nel caso $miracoloso$ in cui fino a qui io avessi fatto tutto giusto, qualcuno è in grado di dirmi continuare?
Io da questo punto mi sento perso!
Risposte
"Tea-Rex":
Sto cercando di risolvere un integrale doppio il cui dominio è dato da un trapezio T con coordinate:
$T_1 = (1,0)$
$T_2 = (1,1)$
$T_3 = (3,0)$
$T_4 = (3,3)$
Il cui integrale è:
$\int_{T}^{} 1/(x^2+y^2) dxdy$
Lo imposto in questo modo:
$T={ (x,y) in RR^2 : 1<=x<=3 vv 0 <= y <= 3}$
Quindi dovrei risolvere l'integrale:
$\int_1^3 int_0^3 1/(x^2+y^2) dxdy$
Dove $dx$ è integrato tra $1$ e $3$ e $dy$ tra $0$ e $3$
No.
Così stai integrando su un rettangolo, non su un trapezio.
"gugo82":
No.
Così stai integrando su un rettangolo, non su un trapezio.
Accidenti.
E quindi come si deve fare?
Qualcosa del tipo:
$ \int_1^3 int_0^3 1/(x^2+y^2) dxdy - \int_0^1 int_0^3 1/(x^2+y^2) dxdy - triangolo$
Oppure si deve parametrizzare in qualche modo il trapezio?
Disegna!
E poi cerca di scrivere il trapezio come dominio normale e di usare le formule di riduzione.
E poi cerca di scrivere il trapezio come dominio normale e di usare le formule di riduzione.
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