Integrale doppio con gauss green

[ee4]

Salve

vorrei trovare la frontiera di questo dominio, per poi usarlo con la formula di Gauss Green

$D={2x + y^2 + 1 =0, x = -5/4}$

la $fr(D)$ è l'unione di una retta e un arco di curva.

passare in coordinate polari mi sembra inutile.

ho pensato di intersecare la retta con la curva ottenendo dove varia la $y$

$y \in [-2,2]$

mentre $x$ varia in un intervallo che stra tra la retta e il vertice (il qual punto lo trovo intersecando la parabola e l'asse x) e dunque:

$x \in [-1/2; -5/2]$

dato che l'integrale è sulle $x$ l'intervallo qual è? non riesco a capirlo!


l'integrale doppio originario è:

$\int \int_D (y e^(2x + y^2 + 1) + 2 sin y cos y) dx dy$

dove $(df)/(dx) = y e^(2x + y^2 + 1) + 2 sin y cos y$

la formula di gauss green da usare è:

$\int \int_D (df)/(dx) dx dy = - \int_(fr (D)) f dx$

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Giusto per il $D$ simmetrico, infatti l'avevo notato e avevo pensato di capovolgere il dominio moltiplicando per $2$
non ricordo bene però il teorema su funzioni integrandi dispari => l'integrale è nullo.

P.S
perchè nel dominio metti $<=$ e $>=$ ?

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Quindi quello che mi ha dato il problema è la frontiera di $D$! Ovvero intersezione tra una parabola che sta nel secondo\terzo quadrante e una retta.

Quindi semmai avessi dovuto parametrizzarla come avrei potuto fare?
$x = t$
$y = sqrt(1 - 2 t)$

?