Integrale doppio con formule GaussGreen
Salve ragazzi, dovrei risolvere questo integrale con le formule di GaussGreen però non capisco come parametrizzare la frontiera, vi posto la traccia:
Dato $D={(x,y) in RR^2: 1<=x^2+y^2<=9 }$ calcolare $ int int_()^() y^2 \ dx \ dy $
mediante un opportuno integrale curvilineo sulla frontiera di D.
Io ora so che con le formule di Gauss Green posso trasformare un integrale doppio su un dominio regolare ad un integrale curvilineo esteso sulla frontiera del dominio di orientamento positivo....quindi da quello che ho capito bisogna trovare le equazioni parametriche della curva rappresentata dalla frontiera positiva e poi trasformare prima l'integrale con le formule e poi risolverlo come un integrale curvilineo di una forma differenziale. I mie dubbi sono:
- le formule di gauss green sono: $int int (df)/dx dxdy = int_(+dD) fdy$ e $int int (df)/dy dxdy = int_(+dD) fdx$
come faccio a capire quale delle due applicare alla mia funzione? c'è un criterio per stabilirlo?
-come faccio a calcolarmi le eq. parametriche della frontiera in modo tale da risolvere poi l'integrale?
Potete aiutarmi?Grazie.
Dato $D={(x,y) in RR^2: 1<=x^2+y^2<=9 }$ calcolare $ int int_()^() y^2 \ dx \ dy $
mediante un opportuno integrale curvilineo sulla frontiera di D.
Io ora so che con le formule di Gauss Green posso trasformare un integrale doppio su un dominio regolare ad un integrale curvilineo esteso sulla frontiera del dominio di orientamento positivo....quindi da quello che ho capito bisogna trovare le equazioni parametriche della curva rappresentata dalla frontiera positiva e poi trasformare prima l'integrale con le formule e poi risolverlo come un integrale curvilineo di una forma differenziale. I mie dubbi sono:
- le formule di gauss green sono: $int int (df)/dx dxdy = int_(+dD) fdy$ e $int int (df)/dy dxdy = int_(+dD) fdx$
come faccio a capire quale delle due applicare alla mia funzione? c'è un criterio per stabilirlo?
-come faccio a calcolarmi le eq. parametriche della frontiera in modo tale da risolvere poi l'integrale?
Potete aiutarmi?Grazie.
Risposte
Puoi usare una qualsiasi delle due formule, non cambia molto ai fini dell'esercizio. Quanto a parametrizzare la frontiera, ne parli come se non l'avessi ancora disegnata. Fallo e, ragionando geometricamente, trova una parametrizzazione.
il disegno è quello di una corona circolare, l'ho provato a fare l'esercizio però non so come fare, ho provato con le coordinate polari mettendo
$x=ro cos(t)$ e $y=ro sen(t)$ con $t in [0, 2pi]$ e con $ro in [1,3]$ però non so se è fatto bene e come continuare poi...cioè non so se è il modo giusto per parametrizzare una frontiera
$x=ro cos(t)$ e $y=ro sen(t)$ con $t in [0, 2pi]$ e con $ro in [1,3]$ però non so se è fatto bene e come continuare poi...cioè non so se è il modo giusto per parametrizzare una frontiera
dato che la formula di gauss green mi trasforma un int doppio in un int curvilineo vuol dire che ro non può variare tra 1 e 3 altrimenti mi ritroverei un altro integrale doppio, allora ho pensato, è possibile calcolare l'integrale su due frontiere aventi una equazioni: $x=cos(t) $ e $ y=sen(t)$ e l'altra $x=3cos(t) $ e $ y=3sen(t)$ e poi fare la differenza tra quella esterna e quella interna???? E' esatto come ragionamento??
Infatti è così. La frontiera consiste di due curve disconnesse, quindi l'integrale sulla frontiera è la somma dei due integrali che dici.
Cioè il risultato finale è la somma dell'integrale calcolato sulla frontiera interna + l'integrale calcolato sulla frontiera esterna?? Non si deve fare la differenza tra quella esterna e quella interna?
Ma si, è chiaro che quello dipende da come scegli le orientazioni. Se le prendi tutte e due orientate in senso antiorario allora la frontiera esterna va presa col + e quella interna col -.
"dissonance":
Ma si, è chiaro che quello dipende da come scegli le orientazioni. Se le prendi tutte e due orientate in senso antiorario allora la frontiera esterna va presa col + e quella interna col -.
ah ok quindi dipende dall'orientamento della frontiera xD grazie!
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