Integrale doppio con Ellisse traslata e ciconferenza
Salve a tutti, io ho questo integrale:
$\int int (xy)/(x^2+y^2)^2 dxdy$
il cui dominio è:
$\{ (x^2+y^2>= 2x) , (x^2+y^2/4 <= 2x ), (y>=0) :} $
C'è un'ellisse traslata, allora come prima cosa ho cambiato coordinate, ponendo:
$\{ (x= x + 1) , (y = y) :} $
Cambiando coordinate, come dovrei disegnare l'ellisse sul piano?
così:
[asvg]axes();ellipse([0, 0], 1, 2);[/asvg]
o così:
[asvg]axes();ellipse([1, 0], 1, 2);[/asvg]
Inoltre, vorrei sapere se questo cambio di coordinate dovrei applicarlo anche alla circonferenza oppure no.
Infine, la cosa che ho trovato più difficile, almeno per me, cioè il cambio di coordinate, che non saprei priprio quali utilizzare, allora avevo pensato di calcolare l'integrale solo sull'ellisse e sottrargli quello calcolato sulla circonferenza.
Grazie in anticipo e scusate le tante domande, qualcuna forse anche stupida.
$\int int (xy)/(x^2+y^2)^2 dxdy$
il cui dominio è:
$\{ (x^2+y^2>= 2x) , (x^2+y^2/4 <= 2x ), (y>=0) :} $
C'è un'ellisse traslata, allora come prima cosa ho cambiato coordinate, ponendo:
$\{ (x= x + 1) , (y = y) :} $
Cambiando coordinate, come dovrei disegnare l'ellisse sul piano?
così:
[asvg]axes();ellipse([0, 0], 1, 2);[/asvg]
o così:
[asvg]axes();ellipse([1, 0], 1, 2);[/asvg]
Inoltre, vorrei sapere se questo cambio di coordinate dovrei applicarlo anche alla circonferenza oppure no.
Infine, la cosa che ho trovato più difficile, almeno per me, cioè il cambio di coordinate, che non saprei priprio quali utilizzare, allora avevo pensato di calcolare l'integrale solo sull'ellisse e sottrargli quello calcolato sulla circonferenza.
Grazie in anticipo e scusate le tante domande, qualcuna forse anche stupida.
Risposte
Scusami tu per la mia stupida domanda...
io avrei un'idea , ma prima devo sapere ...i segni del dominio sono entrambi "$>=$" ?
io avrei un'idea , ma prima devo sapere ...i segni del dominio sono entrambi "$>=$" ?
Oh, è vero, ho sbagliato, scusa, grazie che me l'hai chiesto, ho modificato.
Perfetto ora puoi semplicemente considerare l'integrale su due domini , quello dell'ellisse e quello della circonferenza.
Calcoli separatamente i due integrale dove , in uno userai coordinate ellittiche e nell'altro polari. Infine per ottenere la "parte" richiesta dal dominio sottrai all'integrale sull'ellisse quello della circonferenza.
Calcoli separatamente i due integrale dove , in uno userai coordinate ellittiche e nell'altro polari. Infine per ottenere la "parte" richiesta dal dominio sottrai all'integrale sull'ellisse quello della circonferenza.
"previ91":
Perfetto ora puoi semplicemente considerare l'integrale su due domini , quello dell'ellisse e quello della circonferenza.
Calcoli separatamente i due integrale dove , in uno userai coordinate ellittiche e nell'altro polari. Infine per ottenere la "parte" richiesta dal dominio sottrai all'integrale sull'ellisse quello della circonferenza.
Ok, grazie, però dal punto di vista grafico, prendo la prima o la seconda ellisse? Inoltre non devo cambiare niente sull'equazione della circonferenza?
Grazie davvero per l'aiuto.
Figurati ...
la tua ellisse e la tua circonferenza hanno semplicemente il centro entrambe in (1,0) , lo capisci dalla presenza di $2x$ in entrambe le equazioni che potresti riscrivere così :$(x-1)^2 +y^2 <=1 $ e $(x-1)^2 +(y^2)/4 <=1$.
Quindi il disegno corretto (per l'ellisse) è il secondo.
la tua ellisse e la tua circonferenza hanno semplicemente il centro entrambe in (1,0) , lo capisci dalla presenza di $2x$ in entrambe le equazioni che potresti riscrivere così :$(x-1)^2 +y^2 <=1 $ e $(x-1)^2 +(y^2)/4 <=1$.
Quindi il disegno corretto (per l'ellisse) è il secondo.
"previ91":
Figurati ...
la tua ellisse e la tua circonferenza hanno semplicemente il centro entrambe in (1,0) , lo capisci dalla presenza di $2x$ in entrambe le equazioni che potresti riscrivere così :$(x-1)^2 +y^2 <=1 $ e $(x-1)^2 +(y^2)/4 <=1$.
Quindi il disegno corretto (per l'ellisse) è il secondo.
Ok, allora di conseguenza, cambiando coordinate all'ellisse, devo cambiarle anche a tutte le altre funzioni presenti nell'insieme D, giusto?
Un'altra cosa, nell'origine ho dei problemi per l'integrale? Diventerebbe improprio? Se si, allora come si farebbe, perché ho pensato...quando faccio il cambio in coordinate polari ed ellittiche, in entrambi i casi, dovrei modificare $\rho$ al fine di farlo variare tra due valore, uno dei quali, ad esempio $\epsilon$, con $\epsilon -> 0$.
Scusa ancora per la raffica di domande.
$rho$ è il raggio , in entrambi i casi dovrebbe variare tra 0 ed 1 credo.
"previ91":
$rho$ è il raggio , in entrambi i casi dovrebbe variare tra 0 ed 1 credo.
Si si, però la circonferenza tocca l'origine, ugualmente l'ellissi. Quindi ho pensato che bisognava escludere l'origine, ed impostare un integrale improprio, perché altrimenti si avrebbe:
$\int int 0/0 dxdy$
Allora ho pensato che per la circonferenza, $\rho \in [0," qualcosa "]$ , uguale per l'ellisse. Però ora che mi hai detto come fare per il dominio, non so proprio come cambiare coordinate, o meglio, $\theta \in [0,2\pi]$ e ok, ma $\rho$ rimane un dubbio.
Ah no ok, non è vero, perché $\theta \in [0, \pi/2]$ e invece $\rho \in [0, "qualcosa"]$ dove quel $\"qualcosa"$ è la funzione della circonferenza (o dell'ellisse) con le coordinate sostituite. Non c'è nessuna $\epsilon$ perché l'integrale è sia sopra che sotto positivo $\forall x,y$. Quindi apposto, calcolo prima quello con l'ellisse e gli sottraggo quello con la circonferenza.
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