Integrale doppio con coordinate polari in un dominio
Buonasera avevo dei dubbi su degli integrali che stavo facendo, praticamente devo fare il cambio di variabile dell'integrale doppio in coordinate polari, non essendo scritti come esegue tutti i passaggi mi ritorvo con risultati completamente differenti da quelli dati, il problema principale sta nella trasformazione del dominio di integrazione al momento di trovare \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \). Vi propongo uno degli esercizi e come lo ho risolto.
Si disegni D e si calcoli il seguente integrale:
\(\displaystyle \int\int_D xdxdy \) dove D è la regione del semipiano delle \(\displaystyle y>=0 \) contenuta nella circonferenza centrata nel punto \(\displaystyle (3,0) \) e di raggio unitario;
Ecco come ho proceduto:
Prima di tutto devo disegnare la circonferenza quindi trovo l'equazione di tale circonferenza che è: \(\displaystyle x^2+y^2-6x+9<=1 \) dunque devo valutare solo i valori della circonfereza per y >= 0:
Ora eseguo la trasformazione in coordinate polari:
OK qui mi sono accorto che avevo fatto un errore di conversione devo aggiungere \(\displaystyle x_0 = 3 \) alla x, ma le conclusioni non cambiano
\(\displaystyle x = 3+\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y = \rho sin\theta \)
Qui nasce il dubbio...la risoluzione dell'esercizio porta come dominio di integrazione
\(\displaystyle \rho \epsilon [0,1] \)
\(\displaystyle \theta \epsilon [0,\pi] \)
Ora con \(\displaystyle \theta \) dovrebbe essere tutto ok, basta guardare la rappresentazione grafica del dominio, ma proprio non capisco da dove esca fuori l'intervallo in cui è valido \(\displaystyle \rho \). Per trovare questo intervallo si dovrebbe sostituire i valori di \(\displaystyle x, y \) all'interno dell'equazione del dominio. Dunque otterrei \(\displaystyle \rho^2-6\rho cos\theta<=1 \) che per \(\displaystyle \rho>=0 \) diventa \(\displaystyle \rho-6cos\theta<=1 \) esplicitando \(\displaystyle \rho \) ottengo \(\displaystyle \rho<=+6cos\theta+1 => \rho\epsilon[0,+6cos\theta+1] \) che è totalmente differente dal dominio che mi è stato dato nella risoluzione anceh verificando i valori assunti da \(\displaystyle \theta \) nel suo intervallo...In questo modo ottengo un dominio normale rispetto a \(\displaystyle \theta \), e l'integrale doppio diventa:
\(\displaystyle \int_0^\pi(\int_0^{6cos\theta+1} \rho^2cos\theta d\rho)d\theta \) la cui risoluzione è infine banale
Ora la risoluzione data di questi esercizi è stata più volte errata, ma era semplice capirlo sia dalla teoria che con i calcoli, in questo caso invece non so come rendermi conto di come procedere nel verso giusto.
Si disegni D e si calcoli il seguente integrale:
\(\displaystyle \int\int_D xdxdy \) dove D è la regione del semipiano delle \(\displaystyle y>=0 \) contenuta nella circonferenza centrata nel punto \(\displaystyle (3,0) \) e di raggio unitario;
Ecco come ho proceduto:
Prima di tutto devo disegnare la circonferenza quindi trovo l'equazione di tale circonferenza che è: \(\displaystyle x^2+y^2-6x+9<=1 \) dunque devo valutare solo i valori della circonfereza per y >= 0:
Ora eseguo la trasformazione in coordinate polari:
OK qui mi sono accorto che avevo fatto un errore di conversione devo aggiungere \(\displaystyle x_0 = 3 \) alla x, ma le conclusioni non cambiano
\(\displaystyle x = 3+\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y = \rho sin\theta \)
Qui nasce il dubbio...la risoluzione dell'esercizio porta come dominio di integrazione
\(\displaystyle \rho \epsilon [0,1] \)
\(\displaystyle \theta \epsilon [0,\pi] \)
Ora con \(\displaystyle \theta \) dovrebbe essere tutto ok, basta guardare la rappresentazione grafica del dominio, ma proprio non capisco da dove esca fuori l'intervallo in cui è valido \(\displaystyle \rho \). Per trovare questo intervallo si dovrebbe sostituire i valori di \(\displaystyle x, y \) all'interno dell'equazione del dominio. Dunque otterrei \(\displaystyle \rho^2-6\rho cos\theta<=1 \) che per \(\displaystyle \rho>=0 \) diventa \(\displaystyle \rho-6cos\theta<=1 \) esplicitando \(\displaystyle \rho \) ottengo \(\displaystyle \rho<=+6cos\theta+1 => \rho\epsilon[0,+6cos\theta+1] \) che è totalmente differente dal dominio che mi è stato dato nella risoluzione anceh verificando i valori assunti da \(\displaystyle \theta \) nel suo intervallo...In questo modo ottengo un dominio normale rispetto a \(\displaystyle \theta \), e l'integrale doppio diventa:
\(\displaystyle \int_0^\pi(\int_0^{6cos\theta+1} \rho^2cos\theta d\rho)d\theta \) la cui risoluzione è infine banale
Ora la risoluzione data di questi esercizi è stata più volte errata, ma era semplice capirlo sia dalla teoria che con i calcoli, in questo caso invece non so come rendermi conto di come procedere nel verso giusto.
Risposte
Ciao Masa mi piacerebbe ragionare con te, qualche idea me la sono fatta, ma ho conoscenze limitate e temo di poter confodere ancor di più le idee, l'unica cosa che mi sento di dirti è che di solito la distanza dall'origine viene indicata con $rho$ e non con $p$.
sisi certo avevo scritto \(\displaystyle p \) non avendo pensato al simbolo in latex da poter usare 
ora aggiusto
ora aggiusto
Per il resto che considerazioni hai da fare? Magari anche se non sei eseprto riesci a chiarirmi qualche dubbio
Appunto non ho esperienza quindi potrei dire una corbelleria gigantesca, sarà tua la responsabilità di correggermi.
Fatta questa premessa, a me sembra che ci dobbiamo calcolare il volume del solido compreso tra il nostro dominio e la superficie descritta dalla funzione $f(x;y)=x$
Mi sono immaginata la forma del grafico della nostra funzione e mi sembra un piano passante per l'asse y e inclinato di 45° rispetto al piano $xy$. Il nostro solido dunque è un mezzo cilindro la cui faccia superiore è una mezza ellissi, direi che il volume è $V=3/2pi$
Seguendo un altro ragionamento per mettere il dominio in coordinate polari mi sarebbe comodo se la semicirconferenza fosse centrata nell'origine invece che in (3;0), allora si potrebbe provare a traslare tutto, dominio e funzione indietro di 3.
Ora controlla bene: la funzione diverrebbe $f(x;y)=x+3$, $0<=rho<=1$ e $0<=theta<=pi$.
Cosa ne dici?
Fatta questa premessa, a me sembra che ci dobbiamo calcolare il volume del solido compreso tra il nostro dominio e la superficie descritta dalla funzione $f(x;y)=x$
Mi sono immaginata la forma del grafico della nostra funzione e mi sembra un piano passante per l'asse y e inclinato di 45° rispetto al piano $xy$. Il nostro solido dunque è un mezzo cilindro la cui faccia superiore è una mezza ellissi, direi che il volume è $V=3/2pi$
Seguendo un altro ragionamento per mettere il dominio in coordinate polari mi sarebbe comodo se la semicirconferenza fosse centrata nell'origine invece che in (3;0), allora si potrebbe provare a traslare tutto, dominio e funzione indietro di 3.
Ora controlla bene: la funzione diverrebbe $f(x;y)=x+3$, $0<=rho<=1$ e $0<=theta<=pi$.
Cosa ne dici?
Il tuo risultato è lo stesso che mi da l'esercizio sugli appunti...Ora sinceramente non riesco ad immaginarmelo il cilindro come hai fatto tu..non ho ben capito come arrivare a queste conclusioni...In più se traslo la semicirconferenza nel centro effettivamente si trovano gli stessi estremi in cui si trova \(\displaystyle \rho \). Potresti aiutarmi a capire il primo punto che hai espresso?
Ciao Masa, ho l'abitudine di immaginarmi le superfici perchè commetto sempre un sacco di errori di distrazione nei conti algebrici, se invece dò corpo a quello che sto facendo mi oriento meglio.
Allora abbiamo la funzione $f(x;y)=x$, cosa significa? Che devo cercare tutti i punti con 3 coordinate $P(x_p;y_p;z_p)$, che si trovano dunque nello spazio, che soddisfino la mia scrittura, la terza coordinata z dipende dalle altra due, che sono le variabili indipendenti le posso prendere come voglio, vanno bene tutte le coppie ordinate che mi vengono in mente.
Ora siamo più abituati a ragionare sul piano che non nello spazio e allora immaginiamoci solo il piano in cui le y valgono 0, è il piano $zx$ la nostra funzione è $z=x$ cioè la bisettrice di I e III quadrante, poi vediamo cosa succede in un piano parallelo al precedente, quello dove le y valgono sempre 1, di nuovo la nostra funzione vale $z=x$, ora prova ad assegnare a y tutti i valori che vuoi (ottieni tutti piani che vuoi paralleli al piano $xz$) e vedi che tiviene fuori sempre quella retta. Ora prova a comporre il piano come tanti fogli di carta (piani paralleli al piono $xz$) dove hai disegnato la nostra retta, l'insieme di queste rette formeranno una superficie, immagine della nostra funzione, ci sei?
Allora abbiamo la funzione $f(x;y)=x$, cosa significa? Che devo cercare tutti i punti con 3 coordinate $P(x_p;y_p;z_p)$, che si trovano dunque nello spazio, che soddisfino la mia scrittura, la terza coordinata z dipende dalle altra due, che sono le variabili indipendenti le posso prendere come voglio, vanno bene tutte le coppie ordinate che mi vengono in mente.
Ora siamo più abituati a ragionare sul piano che non nello spazio e allora immaginiamoci solo il piano in cui le y valgono 0, è il piano $zx$ la nostra funzione è $z=x$ cioè la bisettrice di I e III quadrante, poi vediamo cosa succede in un piano parallelo al precedente, quello dove le y valgono sempre 1, di nuovo la nostra funzione vale $z=x$, ora prova ad assegnare a y tutti i valori che vuoi (ottieni tutti piani che vuoi paralleli al piano $xz$) e vedi che tiviene fuori sempre quella retta. Ora prova a comporre il piano come tanti fogli di carta (piani paralleli al piono $xz$) dove hai disegnato la nostra retta, l'insieme di queste rette formeranno una superficie, immagine della nostra funzione, ci sei?
Si fin qui penso di aver capito, praticamente sto prendendo in cosinderazione solo il piano \(\displaystyle xz \) dello spazio \(\displaystyle xyz \), in questo modo essendo y=0 è come se tenessi conto di un piano in due dimensioni ma con l'aumentare di y ottengo tutti i possibili valori della funzione sulla superficie. Giusto?
"MasaOverflow":
Si fin qui penso di aver capito, praticamente sto prendendo in cosinderazione solo il piano \(\displaystyle xz \) dello spazio \(\displaystyle xyz \), in questo modo essendo y=0 è come se tenessi conto di un piano in due dimensioni ma con l'aumentare di y ottengo tutti i possibili valori della funzione sulla superficie. Giusto?
mmm, la superficie è il grafico della funzione, è l'insieme di tutti i punti che soddisfano la condizione $f(x;y)=x$, nel nostro caso la superficie è un piano. Come la retta $y=x$ è il grafico della funzione $f(x)=x$
Giusto hai ragione la superficie è il grafico della funzione, sono nuovo dell'argomento e mi confondo un po
Ora che vedi il grafico della funzione ti puoi domandare quanto vale il volume del solido che sta sotto il grafico e la regione del piano $xy$ corrispondente al nostro semicerchio.
Se ti è utile per visualizzare: il piano xy è il suolo, il semicerchio l'ombra, la parte del grafico che fa ombra è quella che corrisponde al semicerchio, tu vuoi il volume della parte scura tra il suolo e la parte di grafico. Spero di non averti confuso le idee. Magari interviene qualcuno che si esprime meglio di me.
Se ti è utile per visualizzare: il piano xy è il suolo, il semicerchio l'ombra, la parte del grafico che fa ombra è quella che corrisponde al semicerchio, tu vuoi il volume della parte scura tra il suolo e la parte di grafico. Spero di non averti confuso le idee. Magari interviene qualcuno che si esprime meglio di me.
forse ho capito, se penso al dominio nel piano \(\displaystyle xy \) ottengo la semicirconferenza che ho anche inserito nell'esempio. Ora essendo interessati al volume compreso tra i due estremi della semicirconferenza che in questo caso sono \(\displaystyle [0,1] \) essendo compresa tra \(\displaystyle y>=0 \) e avente raggio \(\displaystyle r=1 \). Ora praticamente il volume cercato non è altro che il volume del solido delimitato da tali estremi e per ottener il solido ho bisogno di immaginare il grafico in un piano tridimensionale e ottengo così un mezzo cilindro, la funzione a cui sono interessato sul piano è \(\displaystyle f(x,y) = x \) dunque il piano ottenuto da \(\displaystyle z = x \) che si comporta come la bisettrice del \(\displaystyle I - III \) quadrante essendo in \(\displaystyle R^3 \) ottengo non una retta ma un piano che taglia il mio solido con una inclinazione di 45°, essendo tale piano inclinato di 45°. Giusto? E queto era per capire come dovevo orientarmi per capire quale fosse il solido richiesto. Quindi ora potrei procedere ad esplicitare la y in modo da otterne un dominio normale rispetto ad x dove poter eseguire l'integrale doppio o effettuare il cambio di variabili traslando la semicirconferenza nel centro giusto? Anche se con il cambimento di variabili non riesco ad ottenre il risultato voluto mmm
Ciao. I consigli di gio73 sono sicuramente corretti ed anche molto precisi, tuttavia credo che ci sia una strada senz'altro più breve e che non richieda molta fantasia geometrica (anche se comunque l'interpretazione dell'esercizio va fatta come ti ha detto gio73). In effetti ciò che a te interessa calcolare, è l'integrale della funzione data sul dominio $D$ che non è altro che la semicirconferenza alla base del cilindro che ti ha indicato gio73. Io di solito per svolgere questi esercizi guardo la figura. Allora quello che a noi interessa è parametrizzare quella figura in termini di $\rho$ e $\theta$, dunque si vede subito che l'intervallo in cui è definito $\theta$ (che è l'angolo) è proprio $[0,\pi]$, adesso dobbiamo vedere il raggio in quale intervallo varia. Il nostro raggio è la quantità espressa da $\rho$, si vede immediatamente dalla figura che il raggio varia tra $0<=\rho<=1$. Inoltre (più palesemente) ti è stato specificato nella traccia dell'esercizio che la circonferenza da considerare è di raggio "unitario".
Quindi dici che basta guardare la figura e i dati per rendersi conto del raggio \(\displaystyle \rho \)? Il problema è che in un altro esercizio dice che i valori che ci interessano sono per \(\displaystyle x>=1 \) e la semicirconferenza è data dall'equazione \(\displaystyle x^2+y^2-2x+1<=1 \)
Con \(\displaystyle \rho \epsilon [1/cos\theta,2/cos\theta] \) e dunque in questo caso la circonferenza anche ha raggio unitario, ma l'intervallo in cui varia non è \(\displaystyle [0,1] \)...scusate se vi pongo tutte queste domande, ma ho queste lacune che non so come altro compensare dato che sui testi non trovo grandi spiegazioni...Grazie ancora a tutti!
Con \(\displaystyle \rho \epsilon [1/cos\theta,2/cos\theta] \) e dunque in questo caso la circonferenza anche ha raggio unitario, ma l'intervallo in cui varia non è \(\displaystyle [0,1] \)...scusate se vi pongo tutte queste domande, ma ho queste lacune che non so come altro compensare dato che sui testi non trovo grandi spiegazioni...Grazie ancora a tutti!
Ciao Masa a molti utenti del forum fa piacere rispondere perchè chiarendo i tuoi dubbi affinano il loro linguaggio e approfondiscono le loro conoscenze. Mi fa piacere che si sia aggiunto anche Paolo alla discussione, così se mi scappa qualche svarione è pronto a correggermi.
Ora mi dilungherò un po' con la premessa, spero di non annoiarti e di esserti utile.
Il sistema delle coordinate ti serve per descrivere la posizione di un punto o di un insieme di punti sul piano, per determinare un Punto sul piano hai bisogno di due informazioni, x e y per le coordinate cartesiane o $rho$ e $theta$ per le coordinate polari, hai a disposizone due lingue diverse (come l'inglese e il francese) per dire la stessa cosa.
Se vuoi descrivere il semicerchio in coordinate cartesiane devi dire che ti vanno bene tutte le $x>1$ e tutti i punti le cui coordinate cartesiane (x e y) abbiano distanza uguale o minore dalla circonferenza centrata in C(1;0) di raggio unitario la cui equazione è $(x-1)^2+y^2<=1$
Se vuoi cambiare lingua e usare le coordinate polari sarebbe opportuno spostare il centro e farlo coincidere con l'origine del polo, in questo modo il tuo semicerchio sarebbe composto da tutti i punti che in coordinate polari hanno il raggio compreso tra 0 e 1 ($0<=rho<=1$) e angolo compreso tra -90° e +90° ($-pi/2<=theta<=pi/2$)
aspetto le conferme di Paolo
Ora mi dilungherò un po' con la premessa, spero di non annoiarti e di esserti utile.
Il sistema delle coordinate ti serve per descrivere la posizione di un punto o di un insieme di punti sul piano, per determinare un Punto sul piano hai bisogno di due informazioni, x e y per le coordinate cartesiane o $rho$ e $theta$ per le coordinate polari, hai a disposizone due lingue diverse (come l'inglese e il francese) per dire la stessa cosa.
Se vuoi descrivere il semicerchio in coordinate cartesiane devi dire che ti vanno bene tutte le $x>1$ e tutti i punti le cui coordinate cartesiane (x e y) abbiano distanza uguale o minore dalla circonferenza centrata in C(1;0) di raggio unitario la cui equazione è $(x-1)^2+y^2<=1$
Se vuoi cambiare lingua e usare le coordinate polari sarebbe opportuno spostare il centro e farlo coincidere con l'origine del polo, in questo modo il tuo semicerchio sarebbe composto da tutti i punti che in coordinate polari hanno il raggio compreso tra 0 e 1 ($0<=rho<=1$) e angolo compreso tra -90° e +90° ($-pi/2<=theta<=pi/2$)
aspetto le conferme di Paolo
@gio73: esattamente! .
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Dunque devo dedurre che la conversione in coordinate polari del secondo esercizio con \(\displaystyle \rho \epsilon [1/cos\theta, 2/cos\theta] \) non è stata eseguita correttamente negli appunti è giusto? Capisco quello che mi state dicendo e trovo tutto molto sensato infondo i calcoli che eseguo non sono altro che un osservazione delle caratteristiche che mi sono state date. E quindi significa che la conversione è indifferente dalla funzione che ho e dipende solo dalle caratteristiche del dominio, senza tener conto dell'equazione della figura che ho, ma quanto della figura in se, conoscendone le proprietà. Vero? Vi ringrazio tantissimo per questo enorme chiarimento che mi avete dato, ho pure imparato a capire di cosa sto parlando prima di iniziarne a parlare veramente 
...
...
(1) No Masa. Quella "parametrizzazione" (non conversione) viene fuori da queste due realzioni:
$\rhocos\theta=1$;
$\rhocos\theta=2$
che vengono fuori sempre dopo aver osservato il tuo dominio.
(2) Si. Ripeto, ciò che ti interessa è integrare al funzione in un dominio dato. Siccome non sempre è possibile applicare le formule di riduzione, in quanto dovresti tener conto delle equazioni cartesiane del tuo dominio, allora bisogna trasformare il dominio dato in modo da poter integrare facilmente la funzione con dei parametri ossia le coordinate polari. Se mi permetti di darti un consiglio, nell'affrontare qualsiasi oggetto matematico (più in particolare gli integrali doppi e tripli) sforzati sempre di vedere le cose da un punto di vista geometrico. Molte volte alcune difficoltà si superano facilmente se si comprende: quello che si ha già (dominio) e cosa si vuole ottenere (l'integrale).
$\rhocos\theta=1$;
$\rhocos\theta=2$
che vengono fuori sempre dopo aver osservato il tuo dominio.
(2) Si. Ripeto, ciò che ti interessa è integrare al funzione in un dominio dato. Siccome non sempre è possibile applicare le formule di riduzione, in quanto dovresti tener conto delle equazioni cartesiane del tuo dominio, allora bisogna trasformare il dominio dato in modo da poter integrare facilmente la funzione con dei parametri ossia le coordinate polari. Se mi permetti di darti un consiglio, nell'affrontare qualsiasi oggetto matematico (più in particolare gli integrali doppi e tripli) sforzati sempre di vedere le cose da un punto di vista geometrico. Molte volte alcune difficoltà si superano facilmente se si comprende: quello che si ha già (dominio) e cosa si vuole ottenere (l'integrale).
"paolotesla91":
sforzati sempre di vedere le cose da un punto di vista geometrico. Molte volte alcune difficoltà si superano facilmente se si comprende: quello che si ha già (dominio) e cosa si vuole ottenere (l'integrale).
Penso come te Paolo
"paolotesla91":
(1) No Masa. Quella "parametrizzazione" (non conversione) viene fuori da queste due realzioni:
$\rhocos\theta=1$;
$\rhocos\theta=2$
che vengono fuori sempre dopo aver osservato il tuo dominio.
mmm ok il problema è che non capisco da dove esca fuori questa relazione...graficamente mi sembra che riguardi i punti in cui
\(\displaystyle cos\theta=0 \)
\(\displaystyle sin\theta=1 \)
che dovrebbero essere i massimi valori assumibili dalle due funzioni trigonometriche, anche se guardando meglio è tutto in relazione di \(\displaystyle cos\theta \), e quindi dovrebbe essere il punto di valore minimo e massimo della funzione \(\displaystyle cos \) e se questo ragionamento è corretto prendo solo i valori di \(\displaystyle cos \) dato che i valori a cui sono interessato si trovano per \(\displaystyle x>=1 \) e dato qualunque valore di \(\displaystyle sin\theta , \theta \epsilon [-pi/2,pi/2] \) si trovano sempre valori per \(\displaystyle x>=1 \) e questo giustificherebbe ancor di più il ragionamento fatto anche per il primo esercizio
Edit: riflettendo un po su \(\displaystyle \rho \) penso sia valido anche il seguente ragionamento: \(\displaystyle \rho = \sqrt{x^2+y^2} \) che è la distanza tra due punti, essendo per il dominio \(\displaystyle D \) valido ogni punto per \(\displaystyle x>=1 \) noto immediatamente che il limite inferiore è sicuramente \(\displaystyle 1 \) mentre per il limite superiore andrebbe bene qualunque valore che rispetti la prima disuguaglianza e non ho limitazioni per \(\displaystyle y \), quindi preliminarmente avrei che \(\displaystyle x \) può assumere tutti i valori tra \(\displaystyle [1,+\inf) \) essendo però il dominio chiuso e limitato osservoil grafico e mi accorgo subito che il massimo valore massimo di \(\displaystyle x \) è proprio \(\displaystyle 2 \) dunque può essere vero solo che \(\displaystyle x \epsilon[1,2] \). Dato che sono interessato al solo valore delle ascisse per \(\displaystyle \rho \) pongo che
Minimo: \(\displaystyle \rho cos\theta = 1 \)
Massimo: \(\displaystyle \rho cos\theta = 2 \)
ed esplicitando per \(\displaystyle \rho \) ottengo i valori di minimo e massimo. E penso che questo ragionamento sia quello giusto, dato che riassume in modo un po più generale quanto ho detto prima ancora in preda alla confusione
@Masa: il succo del ragionamento è quello (anche se hai usato termini inappropriati), senza tante considerazioni da fare, a te basta guardare la figura. Semplicemente quella relazione viene fuori dal fatto che: la tua $x$, che sarebbe il $cos\theta$ si muove nell'intervallo $[1,2]$, allora basta porre:
$\rhocos\theta=1$
$\rhocos\theta=2$
Ricorda sempre la parametrizzazione cioè le equazioni:
$x=x_0+\rhocos\theta$
$y=y_0+\rhosin\theta$
per vedere in che intervallo "viaggiano" i tuoi parametri basta sostituire le coordinate (in questo caso le x) al sistema. Non so se mi sono spiegato.
P.s. Se con i termini: massimo, minimo, limite ecc... intendevi il loro significato matematico assolutamente non è vero. Sono concetti che in questo caso non servono affatto, ti ripeto ci stiamo basando sulla figura, mentre se li intendevi in senso lato allora sei giustificato.
$\rhocos\theta=1$
$\rhocos\theta=2$
Ricorda sempre la parametrizzazione cioè le equazioni:
$x=x_0+\rhocos\theta$
$y=y_0+\rhosin\theta$
per vedere in che intervallo "viaggiano" i tuoi parametri basta sostituire le coordinate (in questo caso le x) al sistema. Non so se mi sono spiegato.
P.s. Se con i termini: massimo, minimo, limite ecc... intendevi il loro significato matematico assolutamente non è vero. Sono concetti che in questo caso non servono affatto, ti ripeto ci stiamo basando sulla figura, mentre se li intendevi in senso lato allora sei giustificato.
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