Integrale doppio con coordinate polari in un dominio
Buonasera avevo dei dubbi su degli integrali che stavo facendo, praticamente devo fare il cambio di variabile dell'integrale doppio in coordinate polari, non essendo scritti come esegue tutti i passaggi mi ritorvo con risultati completamente differenti da quelli dati, il problema principale sta nella trasformazione del dominio di integrazione al momento di trovare \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \). Vi propongo uno degli esercizi e come lo ho risolto.
Si disegni D e si calcoli il seguente integrale:
\(\displaystyle \int\int_D xdxdy \) dove D è la regione del semipiano delle \(\displaystyle y>=0 \) contenuta nella circonferenza centrata nel punto \(\displaystyle (3,0) \) e di raggio unitario;
Ecco come ho proceduto:
Prima di tutto devo disegnare la circonferenza quindi trovo l'equazione di tale circonferenza che è: \(\displaystyle x^2+y^2-6x+9<=1 \) dunque devo valutare solo i valori della circonfereza per y >= 0:
Ora eseguo la trasformazione in coordinate polari:
OK qui mi sono accorto che avevo fatto un errore di conversione devo aggiungere \(\displaystyle x_0 = 3 \) alla x, ma le conclusioni non cambiano
\(\displaystyle x = 3+\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y = \rho sin\theta \)
Qui nasce il dubbio...la risoluzione dell'esercizio porta come dominio di integrazione
\(\displaystyle \rho \epsilon [0,1] \)
\(\displaystyle \theta \epsilon [0,\pi] \)
Ora con \(\displaystyle \theta \) dovrebbe essere tutto ok, basta guardare la rappresentazione grafica del dominio, ma proprio non capisco da dove esca fuori l'intervallo in cui è valido \(\displaystyle \rho \). Per trovare questo intervallo si dovrebbe sostituire i valori di \(\displaystyle x, y \) all'interno dell'equazione del dominio. Dunque otterrei \(\displaystyle \rho^2-6\rho cos\theta<=1 \) che per \(\displaystyle \rho>=0 \) diventa \(\displaystyle \rho-6cos\theta<=1 \) esplicitando \(\displaystyle \rho \) ottengo \(\displaystyle \rho<=+6cos\theta+1 => \rho\epsilon[0,+6cos\theta+1] \) che è totalmente differente dal dominio che mi è stato dato nella risoluzione anceh verificando i valori assunti da \(\displaystyle \theta \) nel suo intervallo...In questo modo ottengo un dominio normale rispetto a \(\displaystyle \theta \), e l'integrale doppio diventa:
\(\displaystyle \int_0^\pi(\int_0^{6cos\theta+1} \rho^2cos\theta d\rho)d\theta \) la cui risoluzione è infine banale
Ora la risoluzione data di questi esercizi è stata più volte errata, ma era semplice capirlo sia dalla teoria che con i calcoli, in questo caso invece non so come rendermi conto di come procedere nel verso giusto.
Si disegni D e si calcoli il seguente integrale:
\(\displaystyle \int\int_D xdxdy \) dove D è la regione del semipiano delle \(\displaystyle y>=0 \) contenuta nella circonferenza centrata nel punto \(\displaystyle (3,0) \) e di raggio unitario;
Ecco come ho proceduto:
Prima di tutto devo disegnare la circonferenza quindi trovo l'equazione di tale circonferenza che è: \(\displaystyle x^2+y^2-6x+9<=1 \) dunque devo valutare solo i valori della circonfereza per y >= 0:
Ora eseguo la trasformazione in coordinate polari:
OK qui mi sono accorto che avevo fatto un errore di conversione devo aggiungere \(\displaystyle x_0 = 3 \) alla x, ma le conclusioni non cambiano
\(\displaystyle x = 3+\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y = \rho sin\theta \)
Qui nasce il dubbio...la risoluzione dell'esercizio porta come dominio di integrazione
\(\displaystyle \rho \epsilon [0,1] \)
\(\displaystyle \theta \epsilon [0,\pi] \)
Ora con \(\displaystyle \theta \) dovrebbe essere tutto ok, basta guardare la rappresentazione grafica del dominio, ma proprio non capisco da dove esca fuori l'intervallo in cui è valido \(\displaystyle \rho \). Per trovare questo intervallo si dovrebbe sostituire i valori di \(\displaystyle x, y \) all'interno dell'equazione del dominio. Dunque otterrei \(\displaystyle \rho^2-6\rho cos\theta<=1 \) che per \(\displaystyle \rho>=0 \) diventa \(\displaystyle \rho-6cos\theta<=1 \) esplicitando \(\displaystyle \rho \) ottengo \(\displaystyle \rho<=+6cos\theta+1 => \rho\epsilon[0,+6cos\theta+1] \) che è totalmente differente dal dominio che mi è stato dato nella risoluzione anceh verificando i valori assunti da \(\displaystyle \theta \) nel suo intervallo...In questo modo ottengo un dominio normale rispetto a \(\displaystyle \theta \), e l'integrale doppio diventa:
\(\displaystyle \int_0^\pi(\int_0^{6cos\theta+1} \rho^2cos\theta d\rho)d\theta \) la cui risoluzione è infine banale
Ora la risoluzione data di questi esercizi è stata più volte errata, ma era semplice capirlo sia dalla teoria che con i calcoli, in questo caso invece non so come rendermi conto di come procedere nel verso giusto.
Risposte
bene allora penso di aver finalmente capito 
grazie mille a tutti! Sopratutto per avermi fatto capire come impostare un ragionamento sensato, dato che fino ad ora erano solo tanti concetti...
Si comunque i termini non erano intesi in senso matematico, erano per "italianizzare" un po la matematica
grazie mille a tutti! Sopratutto per avermi fatto capire come impostare un ragionamento sensato, dato che fino ad ora erano solo tanti concetti...Si comunque i termini non erano intesi in senso matematico, erano per "italianizzare" un po la matematica
Prego. 
@gio73: grazie!
@gio73: grazie!
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