Integrale doppio con coordinate polari?!
Ho il seguente esercizio di esame, premetto che non ho dimestichezza con gli integrali doppi, vabbè vi parlo chiaro, ho intenzione di imparare a fare questo integrale direttamente qui, ossia spiegato da qualcuno di voi ( 
).
Sia $D$ l'ellisse centrata nel punto $(1,1)$ di semiassi $a=1$, $b=2$. Quanto vale il seguente integrale?
$\int int_D ((y-1)^2)/(4(x-1)^2+(y-1)^2) dxdy$
Mi da le seguenti soluzioni:
$A. \pi/4$
$B. -\pi/4$
$C. -\pi/2$
$D. \pi/2$
Spero che qualcuno mi spiega in maniera abbastanza semplice come si fa, sto preparando l'esame di analisi
Grazie
).Sia $D$ l'ellisse centrata nel punto $(1,1)$ di semiassi $a=1$, $b=2$. Quanto vale il seguente integrale?
$\int int_D ((y-1)^2)/(4(x-1)^2+(y-1)^2) dxdy$
Mi da le seguenti soluzioni:
$A. \pi/4$
$B. -\pi/4$
$C. -\pi/2$
$D. \pi/2$
Spero che qualcuno mi spiega in maniera abbastanza semplice come si fa, sto preparando l'esame di analisi
Grazie
Risposte
Come faresti tu?
Ciao
premetto che non sono bravissimo nemmeno io, anzi sono abbastanza imbranato, ma provo lo stesso a darti una mano. Poi magari aspetta che qualcuno più quotato ti confermi o smentisca la mia spiegazione
in pratica facendo quell'integrale doppio tu vai a calcolare la somma di tutti i valori dati dalla funzione che stai integrando calcolata nei punti appartenenti al dominio
il tuo dominio sai essere un'ellisse... fin qui tutto ok.
quello che devi fare è capire quali sono i tuoi estremi di integrazione, sia per quanto riguarda $x$ sia per $y$
ti do qualche suggerimento...
l'ellisse è fatta così:
(ringrazio santa wikipedia per avermi fornito l'immagine già pronta)
ti ho messo l'immagine perchè tu veda quali sono $a$ e $b$ presenti nel testo del tuo esercizio
inoltre ti sai che la tua ellisse è centrata in $(1,1)$
quindi... quali sono gli estremi di $x$?
inoltre, sapendo che l'equazione di un'ellisse è
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
quali saranno gli estremi di $y$?
premetto che non sono bravissimo nemmeno io, anzi sono abbastanza imbranato, ma provo lo stesso a darti una mano. Poi magari aspetta che qualcuno più quotato ti confermi o smentisca la mia spiegazione
in pratica facendo quell'integrale doppio tu vai a calcolare la somma di tutti i valori dati dalla funzione che stai integrando calcolata nei punti appartenenti al dominio
il tuo dominio sai essere un'ellisse... fin qui tutto ok.
quello che devi fare è capire quali sono i tuoi estremi di integrazione, sia per quanto riguarda $x$ sia per $y$
ti do qualche suggerimento...
l'ellisse è fatta così:
(ringrazio santa wikipedia per avermi fornito l'immagine già pronta
)ti ho messo l'immagine perchè tu veda quali sono $a$ e $b$ presenti nel testo del tuo esercizio
inoltre ti sai che la tua ellisse è centrata in $(1,1)$
quindi... quali sono gli estremi di $x$?
inoltre, sapendo che l'equazione di un'ellisse è
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
quali saranno gli estremi di $y$?
Non ho alcuna idea di come svolgere questo esercizio, si risolve forse rispetto l'asse y ma non so ricavare gli estremi di integrazione...
ok vediamo qualche passo insieme
riprendiamo l'equazione dell'ellisse
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
proviamo ad esplicitare la $y$ e abbiamo
[tex]\displaystyle \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
quindi i tuoi estremi sono [tex]\displaystyle -\sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}\le y \le \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
ora non ti resta che risolvere l'integrale
è possibile che ci sia un modo migliore che lavora con le coordinate polari ma sinceramente non so bene come si possa fare avendo un'ellisse
riprendiamo l'equazione dell'ellisse
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
proviamo ad esplicitare la $y$ e abbiamo
[tex]\displaystyle \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
quindi i tuoi estremi sono [tex]\displaystyle -\sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}\le y \le \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
ora non ti resta che risolvere l'integrale
è possibile che ci sia un modo migliore che lavora con le coordinate polari ma sinceramente non so bene come si possa fare avendo un'ellisse
allora prima di tutto io, fossi in te, porterei l'ellisse in forma canonica. cioè lo devi portare nell'origine. per fare ciò applichi il seguente cambiamento di variabili:
$ { ( tildex=x-1 ),( tildey=y-1 ):} $ il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana è 1.
in questo modo non solo hai reso in forma canonica l'ellisse, ma hai pure semplificato l'integrale. l'equazione dell'ellisse è:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ quindi hai $tildex^2+tildey^2/4=1$
a questo punto applichi il nuovo cambiamento di variabili
$ { ( tildex=rhocostheta),( tildey=2rhosintheta ):} $ con $rho in[0,1]; theta in [0,2pi]$
in pratica questo cambiamento di variabili è la parametrizzazione dell'equazione dell'ellisse. infatti in questo il dominio di integrazione non è un'ellisse ma un rettangolo di lati [0,1] e [0,2pi].
a questo punto devi calcolarti il modulo dello jacobiano e ti viene $2rho$
sostituisci tutto nell'integrale e avrai
$ int int_(D)tildey^2/(4tildex^2+tildey^2)*1 d tildex d tildey=int_(0)^(2pi) int_(0)^(1)(4rho^2sin^2theta)/(4rho^2cos^2theta+4rho^2sin^2theta)*2rho drho d theta= $
$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(1)(4rho^2sin^2theta)/(4rho^2)*2rho drho d theta= 2int_(0)^(2pi)sin^2theta d theta* int_(0)^(1)rhodrho=[1/2theta-1/2sintheta costheta]_0^(2pi)*[rho^2]_0^1=pi $
credo di aver fatto tutto giusto ma a quanto pare il mio risultato non c'è tra le soluzioni. considera che ho fatto tutto scrivendo sul forum e non con carta e penna quindi è molto probabile che abbia sbagliato qualche calcolo XD comunque sia il ragionamento che devi seguire è questo... spero di esserti stato d'aiuto!
EDIT mi sono accorto di aver fatto un doppio messaggio... scrivo quì quello che avevo scritto nel secondo:
dimentichi che l'ellisse non è centrato nell'origine! si può risolvere anche come dici tu ma la prima cosa da fare è quella di cambiare gli assi x e y per portare l'origine degli assi nel centro dell'ellisse.
$ { ( tildex=x-1 ),( tildey=y-1 ):} $ il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana è 1.
in questo modo non solo hai reso in forma canonica l'ellisse, ma hai pure semplificato l'integrale. l'equazione dell'ellisse è:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ quindi hai $tildex^2+tildey^2/4=1$
a questo punto applichi il nuovo cambiamento di variabili
$ { ( tildex=rhocostheta),( tildey=2rhosintheta ):} $ con $rho in[0,1]; theta in [0,2pi]$
in pratica questo cambiamento di variabili è la parametrizzazione dell'equazione dell'ellisse. infatti in questo il dominio di integrazione non è un'ellisse ma un rettangolo di lati [0,1] e [0,2pi].
a questo punto devi calcolarti il modulo dello jacobiano e ti viene $2rho$
sostituisci tutto nell'integrale e avrai
$ int int_(D)tildey^2/(4tildex^2+tildey^2)*1 d tildex d tildey=int_(0)^(2pi) int_(0)^(1)(4rho^2sin^2theta)/(4rho^2cos^2theta+4rho^2sin^2theta)*2rho drho d theta= $
$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(1)(4rho^2sin^2theta)/(4rho^2)*2rho drho d theta= 2int_(0)^(2pi)sin^2theta d theta* int_(0)^(1)rhodrho=[1/2theta-1/2sintheta costheta]_0^(2pi)*[rho^2]_0^1=pi $
credo di aver fatto tutto giusto ma a quanto pare il mio risultato non c'è tra le soluzioni. considera che ho fatto tutto scrivendo sul forum e non con carta e penna quindi è molto probabile che abbia sbagliato qualche calcolo XD comunque sia il ragionamento che devi seguire è questo... spero di esserti stato d'aiuto!
EDIT mi sono accorto di aver fatto un doppio messaggio... scrivo quì quello che avevo scritto nel secondo:
"Summerwind78":
ok vediamo qualche passo insieme
riprendiamo l'equazione dell'ellisse
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
proviamo ad esplicitare la $y$ e abbiamo
[tex]\displaystyle \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow y^{2} = \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
quindi i tuoi estremi sono [tex]\displaystyle -\sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}\le y \le \sqrt{ \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) b^{2}}[/tex]
ora non ti resta che risolvere l'integrale
è possibile che ci sia un modo migliore che lavora con le coordinate polari ma sinceramente non so bene come si possa fare avendo un'ellisse
dimentichi che l'ellisse non è centrato nell'origine! si può risolvere anche come dici tu ma la prima cosa da fare è quella di cambiare gli assi x e y per portare l'origine degli assi nel centro dell'ellisse.
scusate, anche io ho svolto l'esercizio visto che sto preparando l'esame di analisi 2.
Per victory92, anche a me il risultato viene π
Per victory92, anche a me il risultato viene π
"Marthy_92":
scusate, anche io ho svolto l'esercizio visto che sto preparando l'esame di analisi 2.
Per victory92, anche a me il risultato viene π
l'hai risolto con le coordinate polari proprio come ho fatto io? se lo hai risolto in un altro modo e viene sempre questo risultato allora c'è qualche errore nel testo...
per Cicciospacca non è che c'era qualche limitazione nel testo dell'esercizio? che ne so $y>=1$ oppure $x>=1$? in quel caso verrebbe $pi/2$... comunque ricontrolla il testo!
P.S. anche io sto preparando analisi 2
Grazie tantissimo! Ci ho messo un bel pò per capirlo ma alla fine ce l'ho fatta, non resta da fare che esercitarmi.
"victory92":
[quote="Marthy_92"]scusate, anche io ho svolto l'esercizio visto che sto preparando l'esame di analisi 2.
Per victory92, anche a me il risultato viene π
l'hai risolto con le coordinate polari proprio come ho fatto io? se lo hai risolto in un altro modo e viene sempre questo risultato allora c'è qualche errore nel testo...
per Cicciospacca non è che c'era qualche limitazione nel testo dell'esercizio? che ne so $y>=1$ oppure $x>=1$? in quel caso verrebbe $pi/2$... comunque ricontrolla il testo!
P.S. anche io sto preparando analisi 2
[/quote]Si in realtà c'era qualche problema nei risultati, il prof lo dava corretto solo a chi ha svolto più o meno bene il procedimento e a chi ha ottenuto un risultato con segno positivo.
ricorda che come sostituzioni non ci sono solo le coordinate polari. ci sono degli esercizi che ti si semplificano molto facendo delle opportune sostituzioni. naturalmente devi poi calcolarti lo jacobiano della trasformazione... e in certi casi è proprio quello che ti permette di risolvere un integrale altrimenti irrisolvibile!
Si, anche io l'ho svolto usando la trasformazione in coordinate polari come hai fatto tu, victory92
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