Integrale doppio con cambio di variabili

[Webster]

Sto cercando di calcolare il seguente integrale $ int int_(D)^() y dxdy $ il cui dominio $ D $ di integrazione è un semicerchio di diametro $ d $ e centro $ C=(d/2,0) $ ,con $ y>=0 $ Prima di tutto ho effettuato un cambio di variabili,cioè sono passato dalle coordinate cartesiane a quelle polari;facendo ciò il nuovo dominio di integrazione credo che diventi il seguente $ K={(rho,theta) in RR^2:0<=rho<=d,0<=theta<=pi/2} $ e lo svolgimento dovrebbe essere il seguente $ int int_(K)^() rho^2sin(theta)d(theta)d(rho)=int_(0)^(pi/2) sin(theta) d(theta) int_(0)^(d) rho^2 d(rho) = d^3/3 $ Guardando le soluzioni fornite con l'esercitazione ho tristemente constatato che la soluzione dovrebbe essere $ d^3/12 $ Potete aiutarmi?

[enr87]

sbagli perchè $rho$ varia in funzione di $theta$ se centri le coordinate nell'origine, mentre così sembra che tu voglia integrare su un quarto di cerchio con centro in O.
la limitazione in coordinate cartesiane sarebbe questa: $0 < (x-d/2)^2 + y^2 < d^2/4, \ 0 < y < d/2$. per il cambio di coordinate, ti consiglio di usare le polari centrate in C, quindi otterresti: $0 < (rho cos theta + d/2-d/2)^2 + (rho sin theta)^2 < d^2/4, \ 0 < rho sin theta < d/2$, da cui ottieni $rho < d/2, \ 0 < theta < pi$