Integrale doppio con arcotangente
Salve a tutti,
ho trovato un integrale doppio con arcotangente e mi chiedevo se posso utilizzare le coordinate polari visto la relazione $ Theta = arctan (y/x) $ valida nel primo e quarto quadrante .
Questo è l'integrale doppio: $ int int x arctan(y/x) dx dy $ delimitato dalle funzioni $ y=x $ e $ y=x^2 $ da valutare nel primo quadrante.
Io ho pensato pensato di impostarlo cosi: $ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 int_(x^2)^(x) Theta cos(Theta) dx dy $ è corretto?
Grazie per le eventuali risposte.
ho trovato un integrale doppio con arcotangente e mi chiedevo se posso utilizzare le coordinate polari visto la relazione $ Theta = arctan (y/x) $ valida nel primo e quarto quadrante .
Questo è l'integrale doppio: $ int int x arctan(y/x) dx dy $ delimitato dalle funzioni $ y=x $ e $ y=x^2 $ da valutare nel primo quadrante.
Io ho pensato pensato di impostarlo cosi: $ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 int_(x^2)^(x) Theta cos(Theta) dx dy $ è corretto?
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Beh, sì, se sei nel primo quadrante tutto ok... Però rivedrei gli estremi di integrazione dell'integrale in $theta$ e $rho$, che sono sicuramente sballati.
Ciao freddy970,
Benvenuto sul forum!
No... Decidi: o passi alle coordinate polari o non ci passi, non puoi avere $x$, $y$, $\rho $ e $\theta $...
Benvenuto sul forum!
"freddy970":
[...] è corretto?
No... Decidi: o passi alle coordinate polari o non ci passi, non puoi avere $x$, $y$, $\rho $ e $\theta $...
Il problema sono proprio gli estremi di integrazione io li ho calcolati così $ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 int_(0)^(pi/4) Theta cos(Theta) dx dy $ ma poi non mi torna il risultato finale che dovrebbe essere 0,055.
Questi i passaggi che ho fatto:
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho int_(0)^(pi/4) Theta cos(Theta) dTheta $
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (Theta sin(Theta) + cos(Theta)) $ (da valutare tra 0 e $ pi/4 $)
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (0.555-0.292) $
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (0.263) $
$ 0.263 int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho $
$ 0.263 rho ^3/3 $ (da valutare tra 0 e $ sqrt(2) $)
$ 0.263 * 0.471=0.123 $
Cosa sbaglio?
Questi i passaggi che ho fatto:
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho int_(0)^(pi/4) Theta cos(Theta) dTheta $
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (Theta sin(Theta) + cos(Theta)) $ (da valutare tra 0 e $ pi/4 $)
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (0.555-0.292) $
$ int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho * (0.263) $
$ 0.263 int_(0)^(sqrt(2)) rho ^2 drho $
$ 0.263 rho ^3/3 $ (da valutare tra 0 e $ sqrt(2) $)
$ 0.263 * 0.471=0.123 $
Cosa sbaglio?
Quindi stai integrando su un settore circolare di ampiezza $pi/4$ e raggio $sqrt(2)$... Ripeto: controlla gli estremi d'integrazione.
Fatti un disegno, che è sempre una cosa buona da fare.
Fatti un disegno, che è sempre una cosa buona da fare.
"freddy970":
[...] non mi torna il risultato finale che dovrebbe essere 0,055.
A me risulta $1/18 $
Nel dominio $D = {(x,y) \in \RR^2 : 0 < x \le 1, x^2 \le y \le x} $ non vi è nulla di circolare, quindi si può risolvere anche senza il passaggio alle coordinate polari...
Dato che è passato un po' di tempo, posto qui di seguito la soluzione senza le coordinate polari (che essendo più semplice lascio a chi vorrà cimentarsi), che ho su fogli che vorrei buttare, dell'integrale doppio proposto:
$ \int \int_D x arctan(y/x) \text{d}x \text{d}y $
ove $ D = {(x,y) \in \RR^2 : 0 < x \le 1, x^2 \le y \le x} $
Ho fatto così:
$ \int \int_D x arctan(y/x) \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 x [y arctan(y/x) - 1/2 x ln(x^2 + y^2)]_{x^2}^x \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [x arctan(1) - 1/2 x ln(2x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2 + x^4)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - 1/2 x ln(x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2(1 + x^2))] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - 1/2 x ln(x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2) + 1/2 x ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 [pi/4 x^2 - 1/2 x^2 ln(2) - x^3 arctan x + 1/2 x^2 ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = 1/36 [3 \pi x^3 - x^3 + 6 x^3 ln(x^2 + 1) - 3 x^3 ln(4) + 3x - 3 (3x^4 + 1) arctan(x)]_0^1 = $
$ = 1/36 [3 \pi - 1 + 6 ln(2) - 3 ln(4) + 3 - 12 \pi/4] = $
$ = 1/36 [3 \pi - 1 + 3 ln(4) - 3 ln(4) + 3 - 3 \pi] = $
$ = 1/36 [2] = 1/18 $
$ \int \int_D x arctan(y/x) \text{d}x \text{d}y $
ove $ D = {(x,y) \in \RR^2 : 0 < x \le 1, x^2 \le y \le x} $
Ho fatto così:
$ \int \int_D x arctan(y/x) \text{d}x \text{d}y = \int_0^1 x [y arctan(y/x) - 1/2 x ln(x^2 + y^2)]_{x^2}^x \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [x arctan(1) - 1/2 x ln(2x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2 + x^4)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - 1/2 x ln(x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2(1 + x^2))] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - 1/2 x ln(x^2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln(x^2) + 1/2 x ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x [pi/4 x - 1/2 x ln(2) - x^2 arctan x + 1/2 x ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = \int_0^1 [pi/4 x^2 - 1/2 x^2 ln(2) - x^3 arctan x + 1/2 x^2 ln (1 + x^2)] \text{d}x = $
$ = 1/36 [3 \pi x^3 - x^3 + 6 x^3 ln(x^2 + 1) - 3 x^3 ln(4) + 3x - 3 (3x^4 + 1) arctan(x)]_0^1 = $
$ = 1/36 [3 \pi - 1 + 6 ln(2) - 3 ln(4) + 3 - 12 \pi/4] = $
$ = 1/36 [3 \pi - 1 + 3 ln(4) - 3 ln(4) + 3 - 3 \pi] = $
$ = 1/36 [2] = 1/18 $
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