Integrale doppio, con 3 circonferenze

[zio_mangrovia]

Sia L’integrale di $(x^2 + y^2)^(−1/2)$ esteso alla regione interna a $x^2 + y^2 = 1$ ed esterna ai due cerchi
$x^2 + y^2 − 2y = 0$ e $x^2 + y^2 + 2y = 0$

Se non sbaglio ho 3 aree come dominio descritte rispettivamente da:

area interna cerchio $r=1$ $C_1=(0,0)$
area esterna cerchio $r=1$ $C_2=(1,0)$
area esterna cerchio $r=1$ $C_3=(-1,0)$

ho difficoltà ad impostare l'integrale doppio cioè a calcolarmi gli intervalli in cui oscilla $\rho$ e $\theta$ (si dice così ?) per la sec e terza circonferenza, immagino si debba procedere utilizzando le coordinate polari

Grazie

[Studente Anonimo]

Per simmetria puoi limitare l'integrazione al dominio verde appartenente al 1° quadrante:

$[\rho^2-1 lt= 0] ^^ [\rho^2-2\rhosin\phi gt= 0] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/2] rarr$

$rarr [0 lt= \rho lt= 1] ^^ [\rho gt= 2sin\phi] ^^ [2sin\phi lt= 1] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/2] rarr$

$rarr [2sin\phi lt= \rho lt= 1] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/6] rarr$

$rarr [I=4\int_{0}^{\pi/6}d\phi\int_{2sin\phi}^{1}d\rho\rho(\rho^2-1)]$

[zio_mangrovia]

"anonymous_0b37e9":Per simmetria puoi limitare l'integrazione al dominio verde appartenente al 1° quadrante:

Rispetto a quale asse? Entrambi? La simmetria è presente sia rispetto alle ascisse che alle ordinate.

$[\rho^2-1 lt= 0] ^^ [\rho^2-2\rhosin\phi gt= 0] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/2] rarr$

[list=1][*:1gp9e380]Perdona la mia ignoranza, ma per un neostudente di analisi possiamo fare un'eccezione, dai! ... immagino che il simbolo $^^$ significhi intersezione oppure una sorta di $and$ logico, corretto?[/*:m:1gp9e380]
[*:1gp9e380]Non capisco come mai non nella scrittura che hai indicato manca $[\rho^2+2\rhosin\phi gt= 0]$ relativo all'area esterna del cerchio $ x^2 + y^2 + 2y = 0 $[/*:m:1gp9e380]
[*:1gp9e380]Noto che $\phi$ oscilla tra $0$ e $\pi/2$, se non capisco male l'area verde è individuata al max da un angolo inferiore a $\pi/2$ mi chiedo quindi perché ci sia questo valore[/*:m:1gp9e380][/list:o:1gp9e380]

$rarr [0 lt= \rho lt= 1] ^^ [\rho gt= 2sin\phi] ^^ [2sin\phi lt= 1] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/2] rarr$

[list=1]
[*:1gp9e380]$[\rho gt= 2sin\phi]$ si ottiene dividendo per $\rho$ ?[/*:m:1gp9e380]
[*:1gp9e380]$[2sin\phi lt= 1]$ questo come è stato ricavato?[/*:m:1gp9e380][/list:o:1gp9e380]

$rarr [2sin\phi lt= \rho lt= 1] ^^ [0 lt= \phi lt= \pi/6] rarr$

Qua il $\pi/6$ come è stato ricavato?

Ho esaurito le domande grazie in anticipo.

[Studente Anonimo]

"zio_mangrovia":
Rispetto a quale asse? Entrambi?

Rispetto a entrambi gli assi.

"zio_mangrovia":
... immagino che il simbolo $^^$ significhi ...

Certamente.

"zio_mangrovia":
Non capisco come mai nella scrittura che hai indicato manca $[\rho^2+2\rhosin\phi gt= 0]$ ...

Perché, limitandosi al primo quadrante, $[x^2+y^2+2y gt= 0]$ non è necessaria.

"zio_mangrovia":
Noto che $\phi$ oscilla tra $0$ e $\pi/2$ ...

Premesso che sarebbe più corretto scrivere che $\phi$ varia tra $0$ e $\pi/2$, limitandosi al primo quadrante:

$\{(x gt= 0),(y gt= 0):} rarr \{(\rhocos\phi gt= 0),(\rhosin\phi gt= 0):} rarr \{(cos\phi gt= 0),(sin\phi gt= 0):} rarr [0 lt= \phi lt= \pi/2]$

Solo dopo ho considerato l'ulteriore condizione di cui parli.

"zio_mangrovia":
$[\rho gt= 2sin\phi]$ si ottiene dividendo per $\rho$?

Certamente. Dato che $[\rho gt= 0]$, si ottiene una disequazione equivalente.

"zio_mangrovia":
$[2sin\phi lt= 1]$ come è stato ricavato?

1. Dominio interno al cerchio di centro $(0,0): [\rho^2-1 lt= 0] rarr [0 lt= \rho lt= 1]$

2. Dominio esterno al cerchio di centro $(0,1): [\rho^2-2\rhosin\phi gt= 0] rarr [\rho gt= 2sin\phi]$

3. Primo quadrante: $[0 lt= \phi lt= \pi/2]$

Il sistema costituito dalle prime due disequazioni:

$\{(0 lt= \rho lt= 1),(\rho gt= 2sin\phi):}$

ammette soluzioni se e solo se $[2sin\phi lt= 1]$.

"zio_mangrovia":
Qua il $\pi/6$ come è stato ricavato?

Non rimane che mettere a sistema le seguenti:

$\{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(2sin\phi lt= 1):} rarr \{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(sin\phi lt= 1/2):} rarr \{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(0 lt= \phi lt= \pi/6):} rarr [0 lt= \phi lt= \pi/6]$

Giova sottolineare che si tratta di una risoluzione più analitica che grafica. Non c'è ombra di dubbio che, quando possibile, la risoluzione grafica accompagnata da sistemi di equazioni piuttosto che di disequazioni sia più intuitiva.

"zio_mangrovia":
Sia l’integrale di $(x^2+y^2)^(−1/2)$ esteso alla regione ...

Avendo modificato la funzione integranda, si tratta di un integrale doppio generalizzato:

$[I=4\int_{0}^{\pi/6}d\phi\int_{2sin\phi}^{1}d\rho\rho\rho^(-1)=4\int_{0}^{\pi/6}d\phi\int_{2sin\phi}^{1}d\rho]$

A rigore, bisognerebbe integrare con alcune argomentazioni di carattere più teorico che pratico.