Integrale doppio cambio di parametro

[ludwigZero]

Buonasera
altro integrale doppio

$\int \int x sin (xy) dx dy$

${0<= x <= 1/y ; 1<= y <= 2}$ riscritto viene ${0<= xy <= 1 ; 1<= y <= 2}$

pongo:
$xy = u$
$y = v$

dato che $x = 1/y$ allora $x = 1/v$
determino lo jacobiano e il suo inverso:
$J = (((du)/dx,(du)/dy),((dv)/dx, (dv)/dy)) = ((y,x),(0,1)) = y = v$

a me serve l'inverso $J_ = 1/v$

dato che $x = 1/y$ allora $x = 1/v$ l'integrale si scrive come:

$\int \int x sin (xy) dx dy = \int_{0}^{1} du \int_{1}^{2} 1/v^2 sin (u) dv$

$= \int_{0}^{1} sin (u) du \int_{1}^{2} 1/v^2 dv = \int_{0}^{1} u sin (u) du [-1/v]_{1}^{2} = $

$= \int_{0}^{1} sin (u) du [-1/1 + 1/2] = -1/2 \int_{0}^{1} sin (u) du = - 1/2 [- cos u]_{0}^{1} = $

$= -1/2 [-cos 1 + cos 0] = -1/2 [1 - cos 1]$

[ciampax]

Va bene.