Integrale doppio arcotangente

[lor_fra]

Dovrei calcolare il seguente integrale doppio ma i calcoli che mi escono sono troppo complessi e quindi penso di aver sbagliato l esercizio,la traccia e la seguente:
Calcolare
$int int arctan(y/x) dxdy$
Nell insieme $T={(x,y)inR^2 : x>=1, y>=0 ,x^2+y^2<=4}$
Mi sono ricondotto al seguente integrale
$int_1^2dxint_0^sqrt(4-x^2) arctan(y/x)dy$
Il secondo integrale sono riuscito anche a risolverlo ma dopo i conti diventano troppo difficili.
Dato che e una traccia d esame dubito che escono conti troppo complessi.

[Lo_zio_Tom]

facciamolo in polari

[Lo_zio_Tom]

${{: ( x>1 ),( y>0 ),( x^2+y^2<4 ) :} rarr{{: ( rho costheta>1 ),( sentheta>0 ),( rho^2<4 ) :} $

${{: ( 1/costheta0 ),( sentheta>0 ) :} $

otteniamo


$int_(1/costheta)^(2)int_(0)^(pi/2)arctan((sentheta)/costheta)rho d rho d theta$

$int_(1/costheta)^(2)int_(0)^(pi/2)arctan(tan theta)rho d rho d theta$

$int_(1/costheta)^(2)int_(0)^(pi/2)thetarho d rho d theta$

così ti piace di più??

[lor_fra]

Grazie 1000!!avevo provato in coordinate polari ma la condizione $rcos(theta)>1$ mi aveva dato dei problemi.

[Lo_zio_Tom]

Bene! Ora è davvero facile!

[lor_fra]

Ciao tommyk!stavo ricopiando l esercizio e mi sono sorti dei dubbi.Piu precisamente riguardo la condizione $cost>=0$ che da quello che ho capito e una condizione necessaria affinche si possa verificare $rcost>=1$,quindi abbiamo scritto che $1/(cost)<=r<=2$.Il dubbio principale sta nell intervallo di $t$ che varia tra $0$ e $pi/2$,se $t$ é molto vicino a $pi/2$ la quantita $1/(cost)$ risula sicuramente maggiore di 2,quindi bisogna imporre che $cost>=1/2$ e l intervallo di $t$ é$[0,pi/3]$