Integrale Doppio abb.complicato
Calcolare $intint_Exdxdy$
dove $E={(x,y):y>0$ , $x+y>0$ , $x^2+y^2<=sqrt(x^2+y^2)-x}$
Mi trovo un pò in difficoltà cmq avevo pensato di passare in coordinate polari. Andando a sostituire le coordinate polari nell'ultima condizione mi trovo $0<=rho<=1-costheta$ e sfruttando le prime due mi trovo $0<=theta<=3/4pi$. Non sono molto sicuro di questi risultati; potreste dirmi se sbaglio?
dove $E={(x,y):y>0$ , $x+y>0$ , $x^2+y^2<=sqrt(x^2+y^2)-x}$
Mi trovo un pò in difficoltà cmq avevo pensato di passare in coordinate polari. Andando a sostituire le coordinate polari nell'ultima condizione mi trovo $0<=rho<=1-costheta$ e sfruttando le prime due mi trovo $0<=theta<=3/4pi$. Non sono molto sicuro di questi risultati; potreste dirmi se sbaglio?
Risposte
l'angolo credo sia giusto....mi da un pò di perplessità quel $\rho$ ma credo sia ben giusto pure quello....come hai fatto a trovarlo?hai sostituito le cilindriche nell'ultima disequazione?
E' giusto. Basta passare a coordinate polari: l'ultima disequazione diventa $rho^2
perfetto ha già risposto elgiovo... è così che ho fatto. Grazie. Giusto per curiosità, anche se non penso, è possibile esprimere il dominio in forma normale e calcolare l'integrale con le formule di riduzione?
Si può, ma è necessario scomporlo in due domini normali, uno rispetto all'asse x e uno rispetto all'asse y.
potresti dirmi come? io non ci riesco!
E' un esercizio che non presenta difficoltà particolari, tranne quella di essere molto contoso.
Siccome non credo che i conti siano molto interessanti, posto una figura:
Ho preferito dividere il tutto in tre domini normali rispetto all'asse x, perchè altrimenti
si dovrebbero risolvere equazioni non molto amichevoli.
Infatti un'altra alternativa è quella di considerare i domini 2 e 3 come un unico dominio
normale rispetto all'asse y. La quota della linea verde è $y=sqrt3/4$, l'ascissa della linea gialla $x=1/4$.
Siccome non credo che i conti siano molto interessanti, posto una figura:
Ho preferito dividere il tutto in tre domini normali rispetto all'asse x, perchè altrimenti
si dovrebbero risolvere equazioni non molto amichevoli.
Infatti un'altra alternativa è quella di considerare i domini 2 e 3 come un unico dominio
normale rispetto all'asse y. La quota della linea verde è $y=sqrt3/4$, l'ascissa della linea gialla $x=1/4$.
grazie 1000
OT: anche io voglio sapere come si fa a fare quei disegni... 
"p4ngm4n":
Calcolare $intint_Exdxdy$
dove $E={(x,y):y>0$ , $x+y>0$ , $x^2+y^2<=sqrt(x^2+y^2)-x}$
Mi trovo un pò in difficoltà cmq avevo pensato di passare in coordinate polari. Andando a sostituire le coordinate polari nell'ultima condizione mi trovo $0<=rho<=1-costheta$ e sfruttando le prime due mi trovo $0<=theta<=3/4pi$. Non sono molto sicuro di questi risultati; potreste dirmi se sbaglio?
io lho fatto in un altro modo,ho diviso tutto per costheta e mi sn trovata tg theta>-1 poi nn so cme continuare e'fatto bene cosi?ho risolto la disequazione e sl che nn mi trovo tgeta>-1 voi come la svolgereste..
vi ringrazio..
"cavallipurosangue":
OT: anche io voglio sapere come si fa a fare quei disegni...
Adobe Illustrator! Belli eh?
già... Ma ha anche i caratteri del LaTex... 
Ma ha anche i caratteri del LaTex...
riapro questo topic perchè non mi è chiara una cosa.
Per trovare dove variava l'angolo $theta$ io ho usato un metodo sicuramente improprio dal punto di vista matematico...
Difatti mentre per $rho$ sono andato a sostituirmi i valori delle coordinate polari nell'ultima condizione, per $theta$ ho usato un metodo + grafico. ovvero ho considerato y>0 allora doveva trovarsi per forza nel primo e secondo quadrante, e siccome y>-x allora tracciando la bisettrice del secondo e quarto quadrante, il dominio deve stare al di sopra di questa bisettrice... che passa per l'angolo $3/4pi$. da qui $0<=theta<=3/4pi$
Io credo che questo sia un metodo del tutto empirico e poco adatto a casi + complessi. Potreste, invece, indicarmi la via giusta?
Per trovare dove variava l'angolo $theta$ io ho usato un metodo sicuramente improprio dal punto di vista matematico...
Difatti mentre per $rho$ sono andato a sostituirmi i valori delle coordinate polari nell'ultima condizione, per $theta$ ho usato un metodo + grafico. ovvero ho considerato y>0 allora doveva trovarsi per forza nel primo e secondo quadrante, e siccome y>-x allora tracciando la bisettrice del secondo e quarto quadrante, il dominio deve stare al di sopra di questa bisettrice... che passa per l'angolo $3/4pi$. da qui $0<=theta<=3/4pi$
Io credo che questo sia un metodo del tutto empirico e poco adatto a casi + complessi. Potreste, invece, indicarmi la via giusta?
Secondo me va benissimo. In altre occasioni bisogna arrangiarsi; ad esempio, nel
caso della lemniscata di Bernoulli (ricordi?) bastava sapere che le bisettrici sono ad essa tangenti.
caso della lemniscata di Bernoulli (ricordi?) bastava sapere che le bisettrici sono ad essa tangenti.
si ricordo... quindi mi pare di capire che non esiste un metodo standardizzato. Grazie ancora!!!
non riesco proprio a chiuderlo questo topic...
ho provato per pura curiosità ad esprimere il dominio normale spezzettandolo in tre come mi è stato suggerito. ma non riesco perchè non ad esempio per il primo dominio non riesco a trovare le funzioni su cui varia la y... potreste aiutarmi?
In ogni caso credo vengano calcoli molto più complicati, ma mi piacerebbe capire solo come esprimere il dominio...
Grazie
Edit: Nel dominio 1 , la x varia dall'ascissa del punto di intersezione tra la curva e la bisettrice, a 0, mentre la y da 0 a ??? come faccio a ricavarmi questa funzione?
ho provato per pura curiosità ad esprimere il dominio normale spezzettandolo in tre come mi è stato suggerito. ma non riesco perchè non ad esempio per il primo dominio non riesco a trovare le funzioni su cui varia la y... potreste aiutarmi?
In ogni caso credo vengano calcoli molto più complicati, ma mi piacerebbe capire solo come esprimere il dominio...
Grazie
Edit: Nel dominio 1 , la x varia dall'ascissa del punto di intersezione tra la curva e la bisettrice, a 0, mentre la y da 0 a ??? come faccio a ricavarmi questa funzione?
Risovendo l'equazione $(x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2$ secondo $y$, si ottengono quattro funzioni che, insieme, descrivono la cardioide.
La funzione di interesse per quanto riguarda il dominio 1 è $y =1/2 sqrt(2 sqrt(1 - 4x) - 4x^2 - 4x + 2)$. La retta $y=-x$ interseca
questo ramo di cardioide nel punto di ascissa $x=- (1+sqrt2)/2$, quindi l'integrale esteso al dominio 1 è
$int_(- (1+sqrt2)/2)^0 x dx int _(-x)^(1/2 sqrt(2 sqrt(1 - 4x) - 4x^2 - 4x + 2)) dy$.
La funzione di interesse per quanto riguarda il dominio 1 è $y =1/2 sqrt(2 sqrt(1 - 4x) - 4x^2 - 4x + 2)$. La retta $y=-x$ interseca
questo ramo di cardioide nel punto di ascissa $x=- (1+sqrt2)/2$, quindi l'integrale esteso al dominio 1 è
$int_(- (1+sqrt2)/2)^0 x dx int _(-x)^(1/2 sqrt(2 sqrt(1 - 4x) - 4x^2 - 4x + 2)) dy$.
sapevo che si faceva così per trovare la y in funzione di x. Però, poi posso anche sbagliarmi, essendo un'equazione irrazionale non devo elevare al quadrato entrambi i membri?
Dovrebbe uscire una cosa del genere:
$(x^2+y^2)^2=(sqrt(x^2+y^2)-x)^2$ non credo il risultato sia quello che mi hai detto tu...
Scusami se ho detto una cavolata
Dovrebbe uscire una cosa del genere:
$(x^2+y^2)^2=(sqrt(x^2+y^2)-x)^2$ non credo il risultato sia quello che mi hai detto tu...
Scusami se ho detto una cavolata
Nelle equazioni irrazionali la prima cosa da fare (ove possibile) è isolare il radicando: conviene
perciò portare il $-x$ al primo membro. Quadrando, si ottiene l'equazione di cui sopra.
perciò portare il $-x$ al primo membro. Quadrando, si ottiene l'equazione di cui sopra.
gentilissimo come sempre grazie
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