Integrale doppio
Ciao a tutti, facendo un pò di esercizi per Analisi II mi è capitato questo integrale qui:
$ int int_(D) (x+2)/(x^2+4xy+5y^2) dxdy $ con $ D -= y>=(1-x)/2 $
La prima cosa che ho pensato essendo un integrale improprio perchè il dominio è illimitato è stata quella di usare le coordinate polari e ho ottenuto quindi:
$ lim_(R -> +oo ) int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(R) rho(rhocos(theta)+2)/((rho)^2cos^2(theta)+4(rho)^2cos(theta)sin(theta)+5(rho)^2sin^2(theta)) $
Il problema è che qui le cose mi si sono complicate tantissimo e nn saprei come andare avanti.
C'è qualcuno con una buona idea? Grazie
$ int int_(D) (x+2)/(x^2+4xy+5y^2) dxdy $ con $ D -= y>=(1-x)/2 $
La prima cosa che ho pensato essendo un integrale improprio perchè il dominio è illimitato è stata quella di usare le coordinate polari e ho ottenuto quindi:
$ lim_(R -> +oo ) int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(R) rho(rhocos(theta)+2)/((rho)^2cos^2(theta)+4(rho)^2cos(theta)sin(theta)+5(rho)^2sin^2(theta)) $
Il problema è che qui le cose mi si sono complicate tantissimo e nn saprei come andare avanti.
C'è qualcuno con una buona idea? Grazie
Risposte
Per prima cosa ti conviene fare un disegno del dominio.
Puoi scrivere il dominio così: $x in (-oo,+oo)$ e $y in [(1-x)/2, +oo)$;
Oppure così: $y in (-oo,+oo)$ e $x in [1-2y,+oo)$
Devi capire qual è, delle due, la migliore ai fini del calcolo.
Puoi scrivere il dominio così: $x in (-oo,+oo)$ e $y in [(1-x)/2, +oo)$;
Oppure così: $y in (-oo,+oo)$ e $x in [1-2y,+oo)$
Devi capire qual è, delle due, la migliore ai fini del calcolo.
Si infatti...avevo capito che il dominio è da sopra quella retta fino all'infinito, proprio per questo ho pensato sia un integrale improprio, il problema è dopo la trasformazione con le coordinate...
Comunque non vorrei dire stupidaggini perchè sono un po' arrugginito, ma non mi pare che gli estremi di integrazione dopo il cambio di coordinate siano corretti. Comunque, io proverei integrando così com'è, solo che devi stare attento/a all'ordine di integrazione. Perchè se vedi rispetto a x la funzione converge all'infinito ma il suo integrale no perchè è del tipo 1/n. Mentre con y non dovresti avere problemi. Poi non lo so non sono andato oltre.
Quindi dovrei integrarlo rispetto ad y? Ma il dominio D dato non è già normalizzato rispetto alla y? Come dovrei procedere allora?
Bè integri rispetto a dy prima e poi rispetto a dx 
Anche perché dal testo dell'esercizio hai:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{ \frac{1-x}{2}}^{+ \infty} \frac{x+2}{x^2+4xy+5y^2}\,dy \right) \,dx[/tex]
Comunque ora ho provato a fare l'integrale rispetto a y, poi mi rimane la parte in dx ma quanto pare non converge
Sicuro il testo era così? Avrò fatto qualche errore...
Anche perché dal testo dell'esercizio hai:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{ \frac{1-x}{2}}^{+ \infty} \frac{x+2}{x^2+4xy+5y^2}\,dy \right) \,dx[/tex]
Comunque ora ho provato a fare l'integrale rispetto a y, poi mi rimane la parte in dx ma quanto pare non converge
Sicuro il testo era così? Avrò fatto qualche errore...
Sisi il testo era proprio cosi...bho non saprei anche perchè anche a me dava problemi anche se lo trasformassi con le coordinate e proseguissi. Comunque era un tema d'esame
M'ah mi sono incaponito e stasera ho riprovato ma arrivo sempre a un punto strano, allora sicuramente devo aver fatto qualche errore, ho provato a ricontrollare ma non lo trovo, qualcuno ci aiuta?
Ma aiuterebbe usare le coordinate? qualsiasi tipo esse siano bho sto provando anch'io con quest'altra strada ma niente
bho sto provando anch'io con quest'altra strada ma niente
Forse ho trovato un modo per risolverlo.
Allora so che
$ x^2+4xy+5y^2=(x^2+4xy+4y^2+y^2)=(x+2y)^2+y^2 $
Adesso opero la sostituzione e trovo lo Jacobiano
$ { ( t=x+2y ),( x=x )} $
$ J= det| ( 1+2y , x+2 ),( 1 , 0 ) |^(-1) = -1/(x+2)$
Quindi l'integrale mi diventa:
$ int int (x+2)/((x+2y)^2+y^2)^2dxdy = int int (x+2)/((t^2+y^2))^2(-1/(x+2)) $ Quindi il numeratore si semplifica e passando poi in coordinate polari ho:
$ int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(1)-(1/rho^4)(rho)d(rho) $
Neanche questo però converge
Forse sbaglio qualcosa con gli estremi bho
Allora so che
$ x^2+4xy+5y^2=(x^2+4xy+4y^2+y^2)=(x+2y)^2+y^2 $
Adesso opero la sostituzione e trovo lo Jacobiano
$ { ( t=x+2y ),( x=x )} $
$ J= det| ( 1+2y , x+2 ),( 1 , 0 ) |^(-1) = -1/(x+2)$
Quindi l'integrale mi diventa:
$ int int (x+2)/((x+2y)^2+y^2)^2dxdy = int int (x+2)/((t^2+y^2))^2(-1/(x+2)) $ Quindi il numeratore si semplifica e passando poi in coordinate polari ho:
$ int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(1)-(1/rho^4)(rho)d(rho) $
Neanche questo però converge
Forse sbaglio qualcosa con gli estremi bho
Se posso, bè come hai fatto per svolgere il Jacobiano... credo che tu abbia derivato in modo completamente sbagliato, mi sembra che tu abbia fatto per la prima riga dt/dx e poi dt/dy, bè dt/dx con la tua sostituzione sei sicuro faccia 1+2y?? a me risulta faccia 1. (Stesso tipo di errore per dt/dy, la x scompare). Inoltre, per gli estremi di integrazione, mi sa non hai capito bene come si fa per trovarli. Il ragionamento è questo: tu poni x=pcosø e y=psinø, hai dell informazioni per il dominio D rispetto a x e y. Per trovare il nuovo dominio in p e ø non devi far altro che sostituire i nuovi valori di x e y all'interno della disequazione che hai nel dominio D e arrivare ad una conclusione. Sicuramente il raggio non può essere integrato da 0 a 1.
Si scusami mi sono accorto degli errori, allora quindi correggendo lo jacobiano dovrebbe essere:
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) |^(-1)= -1/2 $
quindi l'integrale diventa:
$ -1/2 int int (t-2y+2)/((t^2)+(y^2))^2 dydt $
usando poi le coordinate polari:
$ -1/2 int int ((rho)cos(theta)-2(rho)sin(theta)+2)/((rho)^3) d(theta)d(rho) $
con $ rho $ che quindi ha come dominio da $ 1/(cos(theta)) $ fino a $ +oo $
Non saprei come procedere da qui in poi però
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) |^(-1)= -1/2 $
quindi l'integrale diventa:
$ -1/2 int int (t-2y+2)/((t^2)+(y^2))^2 dydt $
usando poi le coordinate polari:
$ -1/2 int int ((rho)cos(theta)-2(rho)sin(theta)+2)/((rho)^3) d(theta)d(rho) $
con $ rho $ che quindi ha come dominio da $ 1/(cos(theta)) $ fino a $ +oo $
Non saprei come procedere da qui in poi però
Ho capito TeM però l'integrale a numeratore è 2+x...altrimenti si sarebbe stato molto piu fattibile...
Mi sembra che la cosa più sensata sia scrivere
$x^2+4xy+5y^2=(x+2y)^2+y^2$
e dopodiché porre $x+2y=X,\ y=Y$ da cui la condizione per il dominio $X\ge 1$, $Y\in RR$. Lo Jacobiano risulta $J=1$ e l'integrale diventa
$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_1^{\+infty} {2+X-2Y}/{X^2+Y^2}\ dX\ dY$.
A questo punto mi sembra facile vedere che l'integrale diverge.
$x^2+4xy+5y^2=(x+2y)^2+y^2$
e dopodiché porre $x+2y=X,\ y=Y$ da cui la condizione per il dominio $X\ge 1$, $Y\in RR$. Lo Jacobiano risulta $J=1$ e l'integrale diventa
$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_1^{\+infty} {2+X-2Y}/{X^2+Y^2}\ dX\ dY$.
A questo punto mi sembra facile vedere che l'integrale diverge.
E quindi non sono io... meglio!
Quindi andava bene come ho fatto io nel post sopra? solo che avevo sbagliato lo jacobiano Mi ridite come lo trovate passo per passo lo jacobiano allora? Forse sono io che faccio confusione, grazie
Mi ridite come lo trovate passo per passo lo jacobiano allora? Forse sono io che faccio confusione, grazie
Per il Jacobiano funziona in questo modo: supponi di avere una funzione [tex]f(x_1,x_2,x_3,\ldots ,x_n)[/tex].
Vuoi procedere con un cambio di variabile, dunque esprimerai ogni variabile in funzione delle nuove e così avrai:
[tex]\left \{ \begin{array}
$x_1=g_1(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
x_2=g_2(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
x_3=g_3(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
\vdots \\
x_n=g_n(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)
\end{array} \right.[/tex]
Dopodichè:
[tex]J= det\quad \begin{pmatrix}
\frac{\partial g_1(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_1(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_1(y)}{\partial y_n} \\
\frac{\partial g_2(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_2(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_2(y)}{\partial y_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_n(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_n(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_n(y)}{\partial y_n} \\
\end{pmatrix} \quad dove \quad (y)=(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\quad \Rightarrow \quad
J= det\quad \begin{pmatrix}
\nabla g_1(y)\\
\nabla g_2(y)\\
\vdots\\
\nabla g_n(y)\\
\end{pmatrix}[/tex]
Vuoi procedere con un cambio di variabile, dunque esprimerai ogni variabile in funzione delle nuove e così avrai:
[tex]\left \{ \begin{array}
$x_1=g_1(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
x_2=g_2(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
x_3=g_3(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\\
\vdots \\
x_n=g_n(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)
\end{array} \right.[/tex]
Dopodichè:
[tex]J= det\quad \begin{pmatrix}
\frac{\partial g_1(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_1(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_1(y)}{\partial y_n} \\
\frac{\partial g_2(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_2(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_2(y)}{\partial y_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_n(y)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_n(y)}{\partial y_2} & \cdots & \frac{\partial g_n(y)}{\partial y_n} \\
\end{pmatrix} \quad dove \quad (y)=(y_1,y_2,y_3, \ldots , y_n)\quad \Rightarrow \quad
J= det\quad \begin{pmatrix}
\nabla g_1(y)\\
\nabla g_2(y)\\
\vdots\\
\nabla g_n(y)\\
\end{pmatrix}[/tex]
Allora se ho ben capito per determinare quindi lo Jacobiano prendendo ad esempio l'integrale di prima avrei dovuto, impostando le sostituzioni
$ { ( x+2y=t ),( y=y ):} $
avrei trovato
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) | = 1 $
e quindi mi sarei trovato in accordo con il risultato precedento di ciampax.
Ma visto che la scelta delle variabili è arbitraria perchè non posso scegliere:
$ { ( x+2y=t ),( x=x ):} $
Però poi ottenere:
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) | = 2 $ ??? Cosa c'è di sbagliato?
$ { ( x+2y=t ),( y=y ):} $
avrei trovato
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) | = 1 $
e quindi mi sarei trovato in accordo con il risultato precedento di ciampax.
Ma visto che la scelta delle variabili è arbitraria perchè non posso scegliere:
$ { ( x+2y=t ),( x=x ):} $
Però poi ottenere:
$ J=det| ( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) | = 2 $ ??? Cosa c'è di sbagliato?
Non c'è niente di sbagliato, infatti lo puoi anche fare ma non è utile ai fini del calcolo di questo integrale. Il punto è che scegliendo x=x o y=y nell'integrale, dopo la sostituzione, avrai dx o dy.
Comunque, non cambia assolutamente nulla: è solo una questione di comodità; si sceglie una certa variabile in modo da semplificare il calcolo dell'integrale il più possibile.
Comunque, non cambia assolutamente nulla: è solo una questione di comodità; si sceglie una certa variabile in modo da semplificare il calcolo dell'integrale il più possibile.
Ah okok no xkè da una parte viene 1 e da una parte 2 per quello chiedevo
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