Integrale Doppio
Ciao a tutti, vorrei poter avere una vostra opinione in merito al seguente esercizio:
$ int int_E(x+2y)dxdy$ dove $E$ è la regione del piano limitata dalle rette: $y=x, y=-x, y=-2x-3$.
Il grafico di E:
Ho provato a integrare rispetto a x:
$ int_0^3dy int_(-y/2 -3/2)^-y (x+2y)dx + int_-1^0dy int_(-y/2 -3/2)^y (x+2y)dx = [ (x^2)/2 +2yx]_(-y/2 -3/2)^-y + [ (x^2)/2 +2yx]_(-y/2 -3/2)^(+y) = 9/8 - 9/8 = 0$ (risultato confermatomi da WolframAlpha.com)
Mentre in una prova d'esame ho trovato la seguente proposta di soluzione:
$ int_-3^-1dx int_(-2x-3)^-x (x+2y)dy + int_-1^0dx int_(x)^-x (x+2y)dy = 13 - 2/3 = 37/3 ???$
So che ci devono essere per forza degli errori di calcolo nella soluzione proposta dalla prof, ma guardando il grafico è difficile pensare che la soluzione sia 0.
Sbaglio qualcosa?
In attesa di un vostro riscontro, vi auguro una buona serata!
Saluti
$ int int_E(x+2y)dxdy$ dove $E$ è la regione del piano limitata dalle rette: $y=x, y=-x, y=-2x-3$.
Il grafico di E:
Ho provato a integrare rispetto a x:
$ int_0^3dy int_(-y/2 -3/2)^-y (x+2y)dx + int_-1^0dy int_(-y/2 -3/2)^y (x+2y)dx = [ (x^2)/2 +2yx]_(-y/2 -3/2)^-y + [ (x^2)/2 +2yx]_(-y/2 -3/2)^(+y) = 9/8 - 9/8 = 0$ (risultato confermatomi da WolframAlpha.com)
Mentre in una prova d'esame ho trovato la seguente proposta di soluzione:
$ int_-3^-1dx int_(-2x-3)^-x (x+2y)dy + int_-1^0dx int_(x)^-x (x+2y)dy = 13 - 2/3 = 37/3 ???$
So che ci devono essere per forza degli errori di calcolo nella soluzione proposta dalla prof, ma guardando il grafico è difficile pensare che la soluzione sia 0.
Sbaglio qualcosa?
In attesa di un vostro riscontro, vi auguro una buona serata!
Saluti
Risposte
Controlla gli estremi di integrazione:
Chiamiamo $Omega$ la superficie blue e $Gamma$ quella viola.
Si ha che: $E=OmegauuGamma$ dunque:
$intint_E f(x,y)dxdy=intint_Omega f(x,y)dxdy+intint_Gamma f(x,y)dxdy$
Usando la formula di riduzione per la proiezione sull'asse $x$:
$intint_D f(x,y)dxdy=int_(p1_D)(int_(D(x))f(x,y)dy)dx$
Otteniamo:
$intint_E f(x,y)dxdy=int_(p1_Omega)(int_(Omega(x))f(x,y)dy)dx+int_(p1_Gamma)(int_(Gamma(x))f(x,y)dy)dx$
$p1_Omega=[-3,-1] -> Omega(x)=[-2x-3,-x]$
$p1_Gamma=[-1,0] -> Gamma(x)=[x,-x]$
Sostituendo:
$intint_E f(x,y)dxdy=int_(-3)^(-1)(int_(-2x-3)^(-x)f(x,y)dy)dx+int_(-1)^0(int_x^(-x)f(x,y)dy)dx$
Chiamiamo $Omega$ la superficie blue e $Gamma$ quella viola.
Si ha che: $E=OmegauuGamma$ dunque:
$intint_E f(x,y)dxdy=intint_Omega f(x,y)dxdy+intint_Gamma f(x,y)dxdy$
Usando la formula di riduzione per la proiezione sull'asse $x$:
$intint_D f(x,y)dxdy=int_(p1_D)(int_(D(x))f(x,y)dy)dx$
Otteniamo:
$intint_E f(x,y)dxdy=int_(p1_Omega)(int_(Omega(x))f(x,y)dy)dx+int_(p1_Gamma)(int_(Gamma(x))f(x,y)dy)dx$
$p1_Omega=[-3,-1] -> Omega(x)=[-2x-3,-x]$
$p1_Gamma=[-1,0] -> Gamma(x)=[x,-x]$
Sostituendo:
$intint_E f(x,y)dxdy=int_(-3)^(-1)(int_(-2x-3)^(-x)f(x,y)dy)dx+int_(-1)^0(int_x^(-x)f(x,y)dy)dx$
Ciao lordb, grazie della risposta.
In realtà la domanda era diversa, so che la prof. ha integrato rispetto a y mentre io rispetto a x ma in qualsiasi modo si integri il risultato non dovrebbe cambiare.
Ripeto il mio dubbio è che la soluzione da me proposta risulta $0$ mentre alla prof $37/3$.
Controllando il risultato con un programma online ho riscontrato che il risultato è effettivamente $0$ (intengrando sia rispetto a x sia rispetto a y), ma guardando il grafico di $E$ mi sono venuti dei dubbi sulla veridicità di tale soluzione e volevo appunto un vostro giudizio in merito.
p.s.
Dato che in molti esercizi le soluzioni da me proposte non corrispondono a quelle della prof e non potendomi affidare al 100% a un calcolatore online, ho preferito chiedere a voi.
Grazie,
Saluti
In realtà la domanda era diversa, so che la prof. ha integrato rispetto a y mentre io rispetto a x ma in qualsiasi modo si integri il risultato non dovrebbe cambiare.
Ripeto il mio dubbio è che la soluzione da me proposta risulta $0$ mentre alla prof $37/3$.
Controllando il risultato con un programma online ho riscontrato che il risultato è effettivamente $0$ (intengrando sia rispetto a x sia rispetto a y), ma guardando il grafico di $E$ mi sono venuti dei dubbi sulla veridicità di tale soluzione e volevo appunto un vostro giudizio in merito.
p.s.
Dato che in molti esercizi le soluzioni da me proposte non corrispondono a quelle della prof e non potendomi affidare al 100% a un calcolatore online, ho preferito chiedere a voi.
Grazie,
Saluti
Infatti il risultato è $0$ il tuo prof. avrà fatto un errore di calcolo!
Mi sai dire perchè non ti convince il risultato?
Mi sai dire perchè non ti convince il risultato?
Ciao lordb, dopo averci ragionato sono arrivato a una conclusione, i miei dubbi venivano da una dimenticanza abbastanza grave, nel grafico osservavo solo il dominio senza tenere conto della funzione integranda, perciò visivamente mi pareva assurdo.
Osservando il grafico dell'integrale in effetti risalta subito all'occhio che fa 0:
sarà stata la stanchezza! XD
Grazie dell'input,
Saluti
Osservando il grafico dell'integrale in effetti risalta subito all'occhio che fa 0:
sarà stata la stanchezza! XD
Grazie dell'input,
Saluti
di niente, ciao 
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