Integrale doppio
Devo risolvere $\int y^5 dx dy$ sull'insieme $D = {|y| >= 1/x >= 0} \nnn{x^2 +y^2 <=4}$... La prima parte dell'insieme rappresenta l'iperbole al di sopra dell'asse x mentre la seconda parte rappresenta il cerchio in $(0,0)$ con raggio 2... Non sono sicuro di aver ragionato correttamente, e non so se basta trovare i punti di intersezione e come rappresentarli per risolvere l'integrale...
Risposte
Ciao Mito,
per l'intersezione tra i due insiemi mi viene una sorta di lunetta (ciò che sta dentro il cerchio e contemporaneamente sopra l'iperbole, solo il ramo nel primo quadrante), non sono molto convinta perchè mi sfugge l'utilità del valore assoluto per la $y$.
per l'intersezione tra i due insiemi mi viene una sorta di lunetta (ciò che sta dentro il cerchio e contemporaneamente sopra l'iperbole, solo il ramo nel primo quadrante), non sono molto convinta perchè mi sfugge l'utilità del valore assoluto per la $y$.
Ciao Mito e ciao Gio. Secondo me la disequazione con il modulo di $y$ ha una soluzione più ampia.
Se, presupponendo $x>0$ e quindi limitandosi ai due quadranti di destra nel piano, si riscrive (0) [tex]\left | y \right |\geq \frac{1}{x}[/tex] come:
(1) per $y>=0$:__$y>=1/x$ ,
(2) per $y<0$:__$-y>=1/x$__$rightarrow$__$y<=-1/x$,
si vede che la (1) individua la parte di primo quadrante al di sopra dell'iperbole $y=1/x$ (bordo compreso), mentre la (2) corrisponde alla parte di quarto quadrante al di sotto dell'iperbole $y=-1/x$, sempre compresa la frontiera; la soluzione della (0) è l'unione delle due regioni. Almeno mi pare.
Se, presupponendo $x>0$ e quindi limitandosi ai due quadranti di destra nel piano, si riscrive (0) [tex]\left | y \right |\geq \frac{1}{x}[/tex] come:
(1) per $y>=0$:__$y>=1/x$ ,
(2) per $y<0$:__$-y>=1/x$__$rightarrow$__$y<=-1/x$,
si vede che la (1) individua la parte di primo quadrante al di sopra dell'iperbole $y=1/x$ (bordo compreso), mentre la (2) corrisponde alla parte di quarto quadrante al di sotto dell'iperbole $y=-1/x$, sempre compresa la frontiera; la soluzione della (0) è l'unione delle due regioni. Almeno mi pare.
Ottimo Palliit,
così mi riesce più chiaro. In effetti bastava aprire il modulo. In conclusione abbiamo due lunette simmetriche rispetto all'asse x.
@Mito: hai già trovato le coordinate dei punti intersezione?
così mi riesce più chiaro. In effetti bastava aprire il modulo. In conclusione abbiamo due lunette simmetriche rispetto all'asse x.
@Mito: hai già trovato le coordinate dei punti intersezione?
No perchè non ci sono riuscito... Io non ho capito bene il fatto delle due lunette... A me veniva una lunetta sola... Non due... Ero convinto che $|y | >= 0$ sempre... Cioè la (2) a me non è chiara...
"Mito125":
Cioè la (2) a me non è chiara...
Per $y<0$, è: $|y|=-y$, quindi nel 4° quadrante la disequazione diventa: $-y>=1/x$, cambi di segno ambo i membri (e ovviamente anche il verso della disuguaglianza) e arrivi al mio risultato.
Invece per trovare i punti di intersezione??? Visto poi che le due lunette sono uguali, posso moltiplicare per 2 tenendo un solo spicchio???
"Mito125":
Invece per trovare i punti di intersezione???
Fai l'intersezione tra la circonferenza e l'iperbole. Posta tutto.
Allora io provo a risolvere il sistema:
$\{(y=1/x),(x^2 + y^2 =4 ):} -> \{(xsqrt(4-x^2) = 1),(y=+- sqrt(4-x^2)):}$ Qui mi fermo perchè non so se elevare al quadrato la prima equazione e quindi poter poi risolvere l'equazione di quarto grado(4 soluzioni???)...
$\{(y=1/x),(x^2 + y^2 =4 ):} -> \{(xsqrt(4-x^2) = 1),(y=+- sqrt(4-x^2)):}$ Qui mi fermo perchè non so se elevare al quadrato la prima equazione e quindi poter poi risolvere l'equazione di quarto grado(4 soluzioni???)...
"Mito125":
$\{(y=1/x),(x^2 + y^2 =4 ):} -> \{(xsqrt(4-x^2) = 1),(y=+- sqrt(4-x^2)):}$
Non era più semplice sostituire la $y$?
$y^2=1/x^2$
$x^2+y^2=4 -> x^2+1/x^2=4$
"Mito125":
risolvere l'equazione di quarto grado(4 soluzioni???)...
Sì, in quanti punti si possono incontrare una circonferenza e due rami di iperbole?
Rispondi a questa domanda, facendo anche qualche disegno.
Io sto provando a risolverlo, ma si finisce con dei calcoli impossibili... Conosco però la soluzione... Questo integrale vale 0... Si poteva fare qualche considerazione iniziale sul tipo di dominio??? Vista l'antisimmetria???
Eh, mi sa di sì.
Quindi un dominio antisimmetrico da sempre un integrale su quel dominio pari a 0??? Qualsiasi funzione su un dominio antisimmetrico ritorna 0???
Non qualsiasi funzione: questa è antisimmetrica rispetto all'asse $x$, vale a dire che: $f(x,-y)=-f(x,y)$, mentre il dominio di integrazione invece è una regione simmetrica rispetto allo stesso asse; quindi l'integrale è nullo.
Ciao Mito, a me piace immaginare il grafico delle equazioni in due variabili e poi farmi un'idea.
La nostra funzione $z=y^5$ è indipendente da x, dunque la studio nel piano $zy$ e poi la immagino "allungarsi" lungo l'asse x sempre uguale a se stessa, come pile di fogli su cui è disegnata la stessa curva.
Nel nostro caso il grafico è simile a quello di $y=x^3$, solo un po' più "stirato" in verticale e come ha detto Palliit, simmetrico rispetto all'origine, di conseguenza se faccio un integrale dalla parte positiva in un certo intervallo avrò un valore positivo, se faccio un integrale nella parte negativa nell'intervallo simmetrico otterrò un valore negativo, ma identico all'altro in valore assoluto, dovendoli sommare otterrò 0.
Ho capito bene Palliit?
Mi sembra però che l'esercizio prenda un po' in giro lo studente, o no?
La nostra funzione $z=y^5$ è indipendente da x, dunque la studio nel piano $zy$ e poi la immagino "allungarsi" lungo l'asse x sempre uguale a se stessa, come pile di fogli su cui è disegnata la stessa curva.
Nel nostro caso il grafico è simile a quello di $y=x^3$, solo un po' più "stirato" in verticale e come ha detto Palliit, simmetrico rispetto all'origine, di conseguenza se faccio un integrale dalla parte positiva in un certo intervallo avrò un valore positivo, se faccio un integrale nella parte negativa nell'intervallo simmetrico otterrò un valore negativo, ma identico all'altro in valore assoluto, dovendoli sommare otterrò 0.
Ho capito bene Palliit?
Mi sembra però che l'esercizio prenda un po' in giro lo studente, o no?
Ciao gio73, mi trovo d'accordo sia sull'interpretazione della forma della superficie, sia tua sulla considerazione conclusiva... di quesiti che si risolvono con poche considerazioni generali, anche se il primo impulso è quello di lanciarsi in calcoli vertiginosi, ne capitano spesso, anche nei questionari d'esame (sto seguendo mia figlia che sta cercando disperatamente di passare Analisi I e quindi me ne sto facendo una discreta dose...), credo che il fine sia proprio quello di portare il malcapitato a pensare bene alla strada migliore da seguire prima di iniziare macchinalmente a procedere nella prima direzione che capita. Certo che quando te ne accorgi dopo aver riempito un bel po' di fogli fa venire una rabbia...
Esatto! io le intersezioni me le sono trovate, non era la fine del mondo, ma un po' di minuti li ho occupati.
Ho trovato anche io le intersezioni ed ho provato pure a risolvere l'$y^6/6$... Lì mi è venuta voglia di controllare il risultato perchè questo esercizio è veramente difficile... Quindi ho capito che c'erano delle considerazioni iniziali da fare per risolverlo... Solo che ora non trovo tutte le possibili considerazioni per ogni caso di simmetria...