Integrale doppio
Ho questo integrale doppio:
$int_\Omega xy dx dy$ con $\Omega = {(x,y)\ \epsilon \ \RR^2 : x^2+y^2 < 1, x^2+y^2 < 2x , y>0}$
Io ho provato a fare un cambiamento di variabile(forse mi sono fatto fregare da $x^2 + y^2$)
$\Omega_1 = {(\rho,\theta):\rho^2 < 1, \rho<2cos\theta,sin\theta>0}= {(\rho,\theta): 1<\rho<2cos\theta,0<\theta<\pi}$
$int_(\Omega_1) \rho^3 sin\theta cos\theta d\rho d\theta$
$int_1^(2cos\theta) \rho^3=\rho^4/4|_1^(2cos\theta)=4cos^4\theta -1/4$
$int_0^\pisin\thetacos\theta(4cos^4theta -1/4)d\theta = 4 int_0^\picos^5\theta sin\theta d\theta -1/4int_0^\pi sin\theta cos\theta d\theta $
$4 int_0^\picos^5\theta sin\theta d\theta = -2/3 cos^6 \theta |_0^\pi = 0$
$-1/4int_0^\pi sin\theta cos\theta d\theta= -1/8 sin^2\theta|_0^\pi = 0$
Io però ho come risultato 5/48...
$int_\Omega xy dx dy$ con $\Omega = {(x,y)\ \epsilon \ \RR^2 : x^2+y^2 < 1, x^2+y^2 < 2x , y>0}$
Io ho provato a fare un cambiamento di variabile(forse mi sono fatto fregare da $x^2 + y^2$)
$\Omega_1 = {(\rho,\theta):\rho^2 < 1, \rho<2cos\theta,sin\theta>0}= {(\rho,\theta): 1<\rho<2cos\theta,0<\theta<\pi}$
$int_(\Omega_1) \rho^3 sin\theta cos\theta d\rho d\theta$
$int_1^(2cos\theta) \rho^3=\rho^4/4|_1^(2cos\theta)=4cos^4\theta -1/4$
$int_0^\pisin\thetacos\theta(4cos^4theta -1/4)d\theta = 4 int_0^\picos^5\theta sin\theta d\theta -1/4int_0^\pi sin\theta cos\theta d\theta $
$4 int_0^\picos^5\theta sin\theta d\theta = -2/3 cos^6 \theta |_0^\pi = 0$
$-1/4int_0^\pi sin\theta cos\theta d\theta= -1/8 sin^2\theta|_0^\pi = 0$
Io però ho come risultato 5/48...
Risposte
Le due condizioni $\rho^2<1$ e $\rho<2\cos\theta$ non conducono a $1<\rho<2\cos\theta$. Hai fatto un disegno? L'integrale è esteso ad una regione che si trova internamente all'intersezione di due circonferenze e nel semipiano positivo. Al fine di calcolare l'integrale stesso, devi determinare i punti di intersezione delle circonferenze. E in ogni caso, io non passarei a coordinate polari.
Si ho fatto il disegno... Ho pure provato a risovere in x ed y, ma credo che il mio errore stia proprio nell'unire le due condizioni sulle circonferenze...
Se intersechi le circonferenze (rispettivamente la prima centrata in $O(0,0)$ e raggio 1, la seconda centrata in $C(1,0)$ e raggio 1) trovi i punti di intersezione $A_\pm(1/2,\pm\sqrt{3}/2)$. Questo implica che dovrai dividere il dominio in due pezzi, che sono i seguenti:
$D_1=\{0\le x\le 1/2,\ -\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}}$
$D_2=\{1/2\le x\le 1,\ -\sqrt{2x-x^2}\le y\le\sqrt{2x-x^2}}$
calcolare gli integrali sui due domini e sommare.
$D_1=\{0\le x\le 1/2,\ -\sqrt{1-x^2}\le y\le\sqrt{1-x^2}}$
$D_2=\{1/2\le x\le 1,\ -\sqrt{2x-x^2}\le y\le\sqrt{2x-x^2}}$
calcolare gli integrali sui due domini e sommare.
Ok, adesso ci provo... Intanto, posso riuscire in qualche modo evitare di ripetere l'errore appena fatto??? Come posso capire che sto sbagliando???
Il disegno è sempre il metodo migliore: e quando parlo di disegno, intendo comprendere bene (anche geometricamente) come poter suddividere i domini di integrazione. Ci vuole pratica.
Ma avere nel dominio di integrazione solo $ <\ >$ cambia da avere $<=\ >=$ ???
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