Integrale Doppio

[Ryuzaky*]

Salve a tutti ! Ho un problema col seguente integrale :

$\int \int_D |sin(x)-y| dxdy $

dove D è :

$D={(x,y)\epsilon R^2 : 0
Il problema sarebbe il valore assoluto, non sapendo quando esso è >0 e quando è minore non riesco a regolarmi, qualcuno potrebbe darmi un hint ?

[Seneca1]

Distingui i due casi: $sin(x) - y >= 0$ e $sin(x) - y < 0$.

[Ryuzaky*]

E' questo il mio problema :/ come faccio a sapere gli intervalli di integrazione ? nel senso quando tale quantità è maggiore di zero e lascio i segni invariati dovrò integrare in un sotto dominio di x (/y) che verifica tale proprietà, ma non capisco quale :S

[Seneca1]

Il dominio su cui integri è un rettangolo in $RR^2$. All'interno di questo rettangolo $D$ puoi tracciare il grafico della funzione $y = sin(x)$; questo taglia "sinusoidalmente" il quadrato in 3 parti...

[Ryuzaky*]

Quindi l'area al di sotto della sinusoide è quella per cui devo invertire i segni mentre la rimanente del rettangolo è positiva ?
Grazie mille !

[gio73]

Ciao Ryuzaky, ti dico come l'ho capita io: ragioniamo dentro il rettangolo di lato orizzontale $pi$ e verticale $1$
se scelgo un punto, che posso far corrispondere a una coppia di numeri reali, che appartiene alla sinusoide ho che $sinx=y$, ad esempio se scelgo il punto $S(pi/2;1)$ ho che $senx=senpi/2=1$ e $y=1$ e $1=1$
se scelgo un punto sotto la sinusoide, ad esempio $P(pi/2; 0)$ il seno di x è maggiore di y, $senx>y$, infatti sostituendo $senx=sen pi/2= 1$ mentre $y=0$ e $1>0$;
se scelgo un punto nelle due regioni a contorno mistilineo che stanno sopra la sinusoide il seno di x è minore di y, $senx

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[Ryuzaky*]

Se ho capito bene quindi la divisione va fatta in questo modo :

$\int_0^\pi \int_0^\sin(x)(sin(x)-y) dxdy $

e

$\int_0^\pi \int^1_sin(x) (y-sin(x)) dx dy$

giusto ?

[gio73]

Ciao Ryu, mi sembra ragionevole ma aspetta la conferma di seneca.
Per quanto riguarda la nostra superficie, mi fa piacere cercare di immaginarla, dimmi se ti sembra corretta:
allora la superificie tocca il piano $xy$ lungo la sinusoide mentre per gli altri punti sono sopra il piano, in particolare mi sembra di vedere una superficie "rigata" fatta da segmenti paralleli al piano $zy$ inclinati di 45° rispetto al piano $xy$, l'inclinazione è positiva (coefficiente angolare 1) nelle due regioni di piano esterne alla sinusoide là dove vale $z=y-senx$, mentre è negativa (coefficiente angolare -1) nella regione al di sotto della sinusoide dove vale $z=senx-y$, le infinite coppie di segmenti consecutivi (una coppia di segmenti viene individuata da un valore di x) sono tra loro perpendicolari.
Se dovessi calcolare il volume sotteso a questa superficie la taglierei in lamine sottili $dx$ ottenendo così dei prismi la cui base è un triangolo rettangolo e la cui altezza vale appunto $dx$, i cateti dei miei triangoli variano in funzione di x, sei d'accordo?