Integrale doppio

[Mito125]

Ho il seguente integrale:

$\int int_E x dx dy$ dove $E={(x,y) in RR^2 : x^2 +y^2 <= 16, x<=0,3x+y<=2}$

Facendomi tranne in inganno dai primi due termini, ho provato a risolverlo con un cambiamento di variabile:

$\tilde E={(\rho,\theta):0<=\rho<=4,\pi/1 <= \theta <= 3/2 \pi}$

ma non riesco ad esprimere l'ultima condizione in modo corretto... Credo comunque che sia il semicerchio a sinistra dell'asse y meno la parte in alto che viene eliminata dalla retta $3x+y<=2$. Però poi non ho saputo trovare l'ultima condizione sull'insieme, quindi anche se l'integrale diventerebbe

$\int int_(\tilde E) \rho^2 cos \theta \d \rho \d \theta=\rho^3 /3|_{0,4} * sin \theta|_{a,b}$

Non riesco a trovare gli estremi di $\theta$... Credo di sbagliare perchè non si può esprimere quel taglio... Forse non dovevo fare il cambiamento di variabile, però mi sono bloccato così...

[ciampax]

"Mito125":Ho il seguente integrale:

$\int int_E x dx dy$ dove $E={(x,y) in RR^2 : x^2 +y^2 <= 16, x<=0,3x+y<=2}$

Facendomi tranne in inganno dai primi due termini, ho provato a risolverlo con un cambiamento di variabile:

$\tilde E={(\rho,\theta):0<=\rho<=4,\pi/1 <= \theta <= 3/2 \pi}$

ma non riesco ad esprimere l'ultima condizione in modo corretto... Credo comunque che sia il semicerchio a sinistra dell'asse y meno la parte in alto che viene eliminata dalla retta $3x+y<=2$. Però poi non ho saputo trovare l'ultima condizione sull'insieme, quindi anche se l'integrale diventerebbe

$\int int_(\tilde E) \rho^2 cos \theta \d \rho \d \theta=\rho^3 /3|_{0,4} * sin \theta|_{a,b}$

Non riesco a trovare gli estremi di $\theta$... Credo di sbagliare perchè non si può esprimere quel taglio... Forse non dovevo fare il cambiamento di variabile, però mi sono bloccato così...

Trarre!
In ogni caso, il passaggio a coordinate polari è corretto. per determinare i valori di $\theta$, cerca i punti di intersezione della circonferenza e della retta e, da questi, risali ai valori degli angoli (un disegno ti aiuta molto nel capire quale sia la situazione in cui ti trovi).

[Mito125]

Si si trarre... Il disegno l'ho fatto e controllato con wolfram alpha, è quello, ma un cerchio con una fettina non tagliata, non passante però per il centro del semicerchio... Il problema è che non passa per il centro, tutto lì. Passa per il punto $[0,2]$ e $[2/3,0]$ quindi non riesco ad esprimere quella condizione...

[ciampax]

Effettivamente, facendo i conti viene una roba alquanto antipatica in coordinate polari! Dunque vediamo: l'unico punto di intersezione tra circonferenza e retta che ti interessa è questo $A({3-\sqrt{39}}/5,{1+3\sqrt{39}}/5)$, in quanto l'altro ha l'ascissa positiva e, per definizione del tuo dominio, devi avere $x\le 0$. Ora, se disegni questo dominio, ti renderai conto che dovrai, in ongi caso, spezzarlo in due parti: una è formata da una bella "fetta" di sezione circolare, che va da questo punto di intersezione fino al punto $(0,-4)$ (percorrendo la cirocnferenza in senso antiorario), l'altro pezzo è un triangolino che ha come vertici i punti $(0,0),\ (0,2),\ A$. Pertanto puoi dedurre che le limitazioni per i due domini sono le seguenti: se indichiamo con $\alpha\in(\pi/2,\pi)$ l'angolo che corrisponde al punto $A$, e separiamo il dominio come $E=D\cup T$ (la sezione di cerchio e il triangolo rispettivamente)

$D=\{\rho\in[0,4],\ \theta\in[\alpha,3/2\pi]\}$

$T=\{\rho\in[0,2/{3\cos\theta+\sin\theta}],\ \theta\in[\pi/2,\alpha]\}$

dove la condizione sulla $\rho$ per $T$ segue dal fatto che, in coordinate polari, hai $3\rho\cos\theta+\rho\sin\theta\le 2$.

Inoltre per $\alpha$ vale la condizione $\tan\alpha={{1+3\sqrt{39}}/5}/{{3-\sqrt{39}}/5}=-{4(15+\sqrt{39})}/15$

[Mito125]

Io purtroppo non l'ho risolto così, ed ho evidentemente sbagliato... Quindi per capire alla fine facevo la somma degli integrali su D e T, ed avevo finito... Mi chiedo però se era possibile risolverlo senza adoperare il cambiamento di variabile... Perchè poteva sembrare un dominio x-semplice meno un pezzettino, oppure se si poteva risolvere cambiando E in modo da ottenere i limiti cercati, e poi integrare...

[ciampax]

Io effettivamente avrei risolto senza fare cambiamenti di variabile: puoi spezzare il dominio in due parti al modo seguente. Se indichiamo con $A(\alpha,\beta)$ le coordinate del punto di intersezione, puoi usare i due domini

$D_1=\{-4\le x\le\alpha,\ -\sqrt{16-x^2}\le y\le\sqrt{16-x^2}$ è la fetta di circonferenza e

$T_1=\{\alpha\le x\le 0,\ -\sqrt{16-x^2}\le y\le 2-3x\}$ è il triangolino di prima con, in più, un altra piccolo pezzo di circonferenza.

[Mito125]

Mi sembra molto più logico come procedimento... Segue un filo più diretto... Però il dominio $T_1$ non l'ho capito tanto bene...

[ciampax]

Ricordati che stai considerando quasi tutta la meta della circonferenza che sta a sinistra dell'asse $y$. Il dominio $T_1$ è quello dove hai la limitazione dovuta alla presenza della retta, ecco perché è fatto così.