Integrale Doppio

[M.C.D.1]

Ragazzi Volevo chiedere se era giusto questo esercizio:

Sia C il cerchio di centro (2,0) e raggio 2. Si Calcoli:

$ int int_(C) x^2 + y^2 \ dx \ dxy $

Allora
Anzitutto $C = {(x,y) : 0 <= x <= 2 , - sqrt( 4x -x^2) <= y <= sqrt( 4x -x^2) }$

Ora Ho Utilizzato Le Formule Di Riduzione

$ int_(0)^(2) dx ( int_(- sqrt( 4x -x^2))^(sqrt( 4x -x^2)) x^2 + y^2 dy)$

Cosicche' Ho Svolto I Calcoli Ed Ho:

$ int_(0)^(2) x^2 (2sqrt( 4x -x^2)) + 2/3(sqrt( 4x -x^2))^3 dx$

Fin qui e' corretto?

Grazie Anticipatamente

[theras]

Ciao!!
Ad okkio e croce direi che è il classico caso in cui pensare subito al cambiamento in coordinate polari:
buon lavoro e saluti dal web.

[ciampax]

Sì è corretto, ma gli integrali che ti restano da calcolare sono un po' una seccatura. Come suggeriva theras, il passaggio a coordinate polari può alleviarti i calcoli. Hai due possibilità:

1) $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ che semplificano l'integranda, ma non tanto il dominio;
2) $x=2+\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ che semplificano il dominio e che, nonostante restituiscano un integranda meno semplice della precedente, non dovrebbero darti problemi nel calcolo.