Integrale doppio

[Mito125]

Ho questo integrale:

$int int_A ydxdy$ con $A={(x,y) \in R : (y-3)^2 + x^2 <= 9, y-3 >= -11 |x|}$

Io dalla seconda parte ricavo due rette, passanti per $(0,3)$ e per i punti $(+- 3/11,0)$

Poi dalla prima ho trovato che la curva passa per $(0,0)$ ed ha concavita rivolta verso l'alto... L'intersezione delle due rette con la curva si ha nei punti in cui $ x=+- 3/sqrt122$

Quindi dico $ -3/sqrt122 <= x <= 3/sqrt122 , 0<=y<=3$

Allora $(int_(-3/sqrt122)^(3/sqrt122) dx)*(int_0^3 y dy)= x *(y^2)/2$

Ovviamente mancano le due asticelle dopo i simboli per indicare i valori di integrazione... Quindi ottengo

$int int_A ydxdy=6/sqrt122 9/2= 27/sqrt122$

Non sono sicuro però...

[Mito125]

Up...

[ciampax]

Da come strutturi il dominio, mi sembra di capire che prendi lo spicchietto piccolo della circonferenza (che, in ogni caso, non andrebbe segnato come hai fatto perché quello che indichi tu è un rettangolo). Mi dispiace deluderti, ma il dominio è tutto quello che resta della circonferenza.

[Mito125]

Grazie per la risposta... Mi spiegeresti meglio il fatto dell'intervallo per prima cosa??? E' vero, controllandolo con wolfram alpha conferma sta cosa, io invece avevo preso lo spicchio inferiore... Mi sembrava che la seconda equazione mi invogliasse ad usare al massimo 3 come valore per la y, perchè poi al crescere di x y andava verso $- oo$...

[Quinzio]

Però hai:
$y-3> -11|x|$

vedila in questo modo:
$y-3> "qualcosa"$

leggila così:
y (diminuito di 3) deve essere più grande di qualcos'altro.

Quindi i valori che hanno più probabilità di entrare nel dominio sono quelli alti, non quelli bassi...
Se prendo y = 1.000.000.000 (un miliardo), è facile che un miliardo sia maggiore di qualcosa, o 1000 miliardi, o ancora più su.
MI sentirei più tranquillo a scegliere pezzi di piano xy che vanno verso l'alto, non verso il basso.

E' chiaro così ???

[ciampax]

Bè, mi ricollego a quello che dice Quinzio (che secondo me ti ha spiegato la cosa in maniera precisa e semplice). Hai la disequazione $y\ge 3-11|x|$: per verificare quale parte del piano scegliere, fai così. Disegna il grafico della funzione $f(x)=3-11|x|$ e dopo di che, batsa ragionare su un punto, ad esempio $x=0$: in questo caso $f(0)=3$, ma noi sappiamo che deve essere $y\ge f(x)$: pertanto tutti i punti di coordinate $(0,y)$ con $y\ge 3$ stanno nel dominio. Questo ti porta a concludere che devi prendere la parte "sopra" il grafico della funzione che hai appena disegnato e quindi, intersecando con l'interno della circonferenza, a prendere lo "spicchio" grande.

Ti consiglio, se non vuoi passare a coordinate polari, di ragionare così: per prima cosa osserva che la funzione è simmetrica rispetto al dominio di integrazione: pertanto basta restringere l'integrale alla parte di dominio nel primo quadrante e poi moltiplicare per due il risultato. A questo punto, ti conviene vedere il dominio spezzato in due domini normali rispetto ad $y$: uno sarà delimitato da un quarto della circonferenza e l'asse $y$, l'altro dal restante quarto di circonferenza e la retta $y=3-11x$ (che ti serve su un piatto d'argento la delimitazione per la $x$).

[Mito125]

Io ho ragionato così... Ho trovato prima il punto caratteristico sull'asse delle y, cioè il punto $(0,3)$, e poi ho provato a calcolare in 2 punti come variava la y... In $x=1 y>=-11+3=-8$ purtroppo questo risultato mi ha portato a scegliere solo ciò che stava sotto a $(0,3)$... Perchè il segno mi ha ingannato... E continua ancora adesso ad ingannarmi, se ci penso su... Ma per concludere il mio dubbio sul dominio, quando guardo i domini prendo solo la disequazione??? Così evito di cadere in errore???

Visto come è uscito fuori il dominio, forse mi conviene passare alle coordinate polari... E' un cerchio alla fine, se lo merita... Adesso provo a risolvere per vedere se il risultato è ok...

Come sempre, grazie ad entrambi per la partecipazione...

[Mito125]

Non riesco a tirar fuori il parametro $\theta$.... Io avrei pensato di porre $\rho \in (0,3)$ ma $\theta$ non riesco a capire dove prenderlo... Come fare a capire quanto sia lo spicchietto da togliere... Avevo pensato di risolvere il triangolo formato nel diagramma positivo dalla retta con l'asse y, cioè quindi trovare $\phi=arctag ((3/11)/3)= arctag (1/11)$ raddoppiare per trovare l'angolo compressivo e poi scegliere $\theta \in (0,2\pi-2\phi)$ ma credo ci sia una soluzione più elegante...

[Quinzio]

Stiamo parlando di questa cosa qui,
giocando con sen e cos non mi sembra difficile trovare l'angolo.


[asvg]ymax = 10;
ymin = -1;
axes();
line([0,0],[4,0]);

stroke="magenta";

arc( [0.2716 , 0.01232], [3 , 3], 3);
arc( [3,3], [-3 , 3], 3);
arc( [-3 , 3],[-0.2716 , 0.01232] , 3);
line([0.2716 , 0.01232], [0,3]);
line([-0.2716 , 0.01232], [0,3]);[/asvg]

[ciampax]

Per prima cosa, quali sono le coordinate polari che stai sfruttando? Io ti consiglio queste $x=\rho\cos\theta,\ y=3+\rho\sin\theta$ che sono centrate nel centro della circonferenza. In questo modo è vero che $\rho\in[0,3]$, mentre per l'angolo, ti basta trovare i punti di intersezione delle rette con la circonferenza. Dal momento che essi sono $(\pm 3/{\sqrt{122}},\ 3-\frac{33}{\sqrt{122}})$, mi pare che, detto $\gamma\in(0,\pi/2)$ l'angolo per cui $\tan\gamma=\frac{3-\frac{33}{\sqrt{122}}}{3/{\sqrt{122}}}$, allora $\theta\in[\alpha,\beta]$ dove $\alpha=-\gamma,\ \beta=\pi+\gamma$.

[Mito125]

Allora io non avevo pensato di mettere $y$ in quel modo... Io preferisco usare la forma più semplice $y=\rho cos \theta$... Anche perchè pensavo che avere un cerchio sopra $(0,0)$ non pregiudichi la soluzione finale... $\theta$ però non riesco a capirlo... Allora le rette si intersecano fra loro nel punto $(0,3)$, perchè adesso $y$ ha una sottrazione??? E poi $\theta$ non può essere uguale a $\theta \in (0,2\pi - \gamma)$ sempre che $\delta$ sia tutto l'angolo dello spicchietto(che non ho capito come è stato trovato)??? Grazie