Integrale doppio

[20021991]

Salve. L'integrale doppio di una funzione $ f(x,y) $ sul dominio $ D $ regolare fornisce il volume dello spazio tridimensionale compreso tra il grafico della funzione e l'insieme.

Posto ciò, non capisco perché, secondo il concetto di misurabilità di Peano-Jordan, l'integrale doppio della funzione costante $ 1 $ su un insieme $ Omega $ limitato di $ R^2 $ dia l'area dell'insieme. Non dovrebbe dare piuttosto il volume della regione compresa fra l'insieme e il grafico della funzione 1?


$ | Omega | = \int \int 1 dxdy $ ( su $ Omega $ )

Per non riuscire a darmi una spiegazione evidentemente qualcosa non mi è chiaro, ma non capisco cosa...
Grazie

[ciampax]

Quello che restituisce l'integrale è un valore numerico, a prescindere dalle unità di misura. Pertanto, è ovvio che, se consideri la funzione $f(x,y)=1$ integrando sul dominio $D$ ottieni il volume del cilindroide di base $A(D)$ (area del dominio) per l'altezza, e dalla relazione $V(D)=1\cdot A(D)=A(D)$ ottieni che, al contempo, quel valore rappresenta anche l'area del dominio.