Integrale doppio

[Mith891]

ciao, dovrei calcolare l’integrale generalizzato:
$ int_(J) 1/(x^2 + y^2 + 3)^(5/2) dxdy $ con $ J = {(x, y)^T : -y >= x >= 0 } $

Per prima cosa passo a coordinate polari:
$ -rho sin theta >= rho cos theta $ da cui si ricava $ 3pi/4 <= rho <=7pi/4 $
$ rho cos theta >= 0 $ da cui si ricava $ rho >= 0 $ e $ cos theta >= 0 $

per cui gli estremi d'integrazione sono: $ 3pi/2 <= rho <=7pi/4 $ e $ rho > 0 $. Riscrivo l'integrale:
$ int_(3pi/2)^(7pi/4) int_(0)^(n) rho/(rho^2 + 3)^(5/2) drho d theta $

a questo punto ho fatto la sostituzione $ u = rho^2 + 3 $ e ho proseguito. Svolgendo i calcoli e facendo il limite per n che tende a $ +oo $ ottengo un valore negativo! Sbaglio qualcosa nell'impostazione? i conti mi sembrano giusti...

[ciampax]

Il dominio $J$ coincide con lo "spicchio" del I quadrante compreso tra l'asse delle $x$ e la bisettrice del quadrante stesso, per cui [tex]$0\le\theta\le\frac{\pi}{4}$[/tex]. Mi spieghi perché hai messo un $-$ davanti a $\rho\sin\theta$?

[Mith891]

errore di battitura, quello è giusto, mancava un meno davanti al y nel dominio, ora ho corretto. In ogni caso anche se non ci fosse stato non capisco perché avrebbe dovuto essere $ 0 <= theta <= pi/4 $, dato che $ sin theta >= cos theta $ per $ pi/4 <= theta <= (5/4) pi $ e con la condizione $ cos theta >= 0 $ si ricava $ pi/4 <= theta <= pi/2 $, cioè il secondo spicchio del primo quadrante.