Integrale doppio

[Krocket]

Salve a tutti, non riesco a fare questo integrale doppio:

$ int int_(A)^() (4x)/(2x^2+y^2) dx dxy $

Sull'insieme $ A = {(x,y): 4x^2+y^2<=1} $

Parametrizzando (ellisse) ottengo:

$ ( ( x=1/2pcost ),( y=psent ) ) $

$ int_(0)^(1)int_(0)^(pi) (2cost)/(p(2cos^2t+sin^2t))dt $

Non si puo' integrare un affare cosi, a questo punto sono bloccato
Grazie.
p.s. qui ho moltiplicato per Jacobbiano = p e non abp, ed e' sbagliato, (correzzione in seguito)

[thebusterazz]

il tuo errore consiste nel non aver moltiplicato per il determinante jacobiano, che nel caso della parametrizzazione dell'ellisse risulta essere $ abR $ , se fai questo e rincontrolli i calcoli ( che hai sbagliato) il tuo integrale diventa qualcosa di fattibilissimo.[/tex][/code]

[lawrencetb]

Ti sei dimenticato il determinante dello Jacobiano, e a occhio c'è anche qualche conto sbagliato in mezzo!

Edit: anticipato

[Krocket]

grazie infinite

[Krocket]

Scusate, lo svolto moltiplicando per $ abp=1/2p $ e non e' cambiato niente
$ int_(0)^(1) int_(0)^(pi) (2*p*cost)/((1/2p^2cos^2t)+(p^2sen^2t))*1/2p= int_(0)^(1) int_(0)^(pi) (cost)/((1/2cos^2t)+(sen^2t)) $

[emmeffe90]

Io credo che si possa sfruttare la simmetria sia della funzione integranda, sia del dominio d'integrazione per concludere senza troppi calcoli.

[Krocket]

@emmeffe90, e' un idea, come potrei fare?

[ciampax]

Ma io dico, semplificare un po' prima di partire a calcolare gli integrali? L'integrale, scritto bene, dopo la sostituzione risulta

[tex]$\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{2\rho\cos t}{\rho^2(\cos^2 t/2+\sin^2 t)}\cdor\frac{\rho}{2}\ dt\ d\rho=\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{2\cos t}{\cos^2 t+2\sin^2 t}\ dt\ d\rho=\int_0^1\ d\rho\ \cdot\int_0^{2\pi}\frac{2\cos t}{1+\sin^2 t}\ dt$[/tex]

e se adesso poni [tex]$\sin t=z$[/tex]...

[Krocket]

@ciampax
$ cos^2t+2sin^2t = sin^2t+1 $ oppure $ 2-cos^2t $ , da dove spunta fuori: $ 1+cos^2t $
Comunque grazie lo stesso, almeno abbiamo tentato.

[dissonance]

Jacobbiano

Si dice "Jacobiano".

correzzione

Si scrive "correzione".

Scusate, lo svolto moltiplicando per...

Si scrive "l'ho svolto".

[emmeffe90]

Intendevo dire che visto che la funzione integranda è dispari come funzione della sola x, cioè $f(x, y)=-f(-x, y)$, e visto che il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse y, allora possiamo concludere subito che quell'integrale è uguale a...

[ciampax]

Corretto!