Integrale doppio

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29 giu 2011, 10:10

Ho provato a risolvere questo esercizio ma mi sono bloccata, potreste aiutarmi?

Verificare le seguenti uguaglianze, in ciascuna delle quali è l'insieme rappresentato in colore giallo nella figura accanto.

$int int_Acospixcospiydxdy=-4/(3pi^2)$

$int_0^2cospixdx int_(1-x)^((2-x)/2)cospiydy=$
$=int_0^2cospixdx|(senpiy)/pi|_(1-x)^((2-x)/2)=$
$=int_0^2cospixdx[1/pisen(pi-(pix)/2)-1/pisen(pi-pix)]=$
$=int_0^2cospixdx[1/pi(senpicos((pix)/2)-sen(pix)/2cospi-senpicospix+senpixcospi)]=$
$=int_0^2cospixdx[-1/pisen(pix)/2+1/pisenpix]=$
$=1/pi [int_0^2cospixsenpixdx-int_0^2cospixsen(pix)/2dx]$
$=1/pi|(sen^2pix)/(2pi)|_0^2-1/piint_0^2cospisen(pix/2)dx=$

Ammesso che fin qui sia giusto, come devo continuare?

Risposte

innersmile-votailprof

29 giu 2011, 08:13

oltretutto pensavo una cosa: la traccia potrebbe facilmente essere fraintesa perchè, in assenza di una parentesi che racchiuda $pix$ e $piy$, l'arrgomento del $cos$ dato potrebbe essere il solo $pi$...sbaglio?

ciampax

29 giu 2011, 08:15

Se il dominio lo vuoi vedere normale rispetto ad $x$ dovrai spezzarlo in due parti: [tex]$A_1=\{0\le x\le 1,\ 1-x\le y\le(2-x)/2\},\ A_2=\{1\le x\le 2,\ 0\le y\le(2-x)/2\}$[/tex]. Se invece lo vedi normale rispetto ad $y$ avrai [tex]$A=\{0\le y\le 1,\ 1-y\le x\le 2(1-y)\}$[/tex]

EDIT: sbagli: è chiaro che, anche se non ci sono le parentesi, gli argomenti sono dati da $\pi x,\ \pi y$

innersmile-votailprof

29 giu 2011, 08:21

"ciampax":
Se il dominio lo vuoi vedere normale rispetto ad $x$ dovrai spezzarlo in due parti: [tex]$A_1=\{0\le x\le 1,\ 1-x\le y\le(2-x)/2\},\ A_2=\{1\le x\le 2,\ 0\le y\le(2-x)/2\}$[/tex]. Se invece lo vedi normale rispetto ad $y$ avrai [tex]$A=\{0\le y\le 1,\ 1-y\le x\le 2(1-y)\}$[/tex]

EDIT: sbagli: è chiaro che, anche se non ci sono le parentesi, gli argomenti sono dati da $\pi x,\ \pi y$

Se considero il dominio normale rispetto ad $x$, come mai non posso considerarlo come un unico dominio?

EDIT: ok, ho capito perchè devo spezzarlo in due, ma quindi se lo considero normale rispetto ad $y$ allora dovrò semplicemente scambiare tutte le $x$ con le $y$ ai calcoli che ho già fatto e come posso proseguire?

ciampax

29 giu 2011, 08:24

Qual è la definizione di dominio normale? Pensaci un attimo e ti renderai conto che la variabile $y$ (come ti ho scritto) varia in maniera diversa rispetto ad $x$, a seconda che questa si trovi nell'intervallo $(0,1)$ o $(1,2)$.