Integrale doppio...
Ciao amici!
Scusatemi se sono di nuovo qua con un altro integrale doppio, ma non sono mai sicuro se sbaglio io o il libro e non vorrei apprendere metodi sbagliati... Esaminando e riesaminando e rifacendo da capo i miei calcoli, mi torna sempre lo stesso risultato...
Devo calcolare$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy$ per $D={(x,y): x>=0,y^2<=1,x^2-3<=y^2<=x^2}$.
D mi sembra l'area della porzione di piano delimitata dalle rette x=0, y=1, y=-1 e dall'iperbole $x=sqrt(y^2+3)$, quindi calcolerei
$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy = \int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy$.
Dato che mi pare che $\int x/(x^2+1)^2 dx = -1/(2x^2+2)+C$ direi che
$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy = \int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy = \int_{-1}^{1} -1/(2(y^2+3)+2)-(-1/2) dy = \int_{-1}^{1} (y^2+3)/(2y^2+8)dy$
Ora, dal momento che mi sembra che $\int (y^2+3)/(2y^2+8)dy = 1/2y-1/4arctan(y/2)+C$ (ho fatto varie volte la verifica derivando e mi sembra giusto...), direi che, tenendo conto del fatto che arctan(-x)=-arctan x (o almeno così mi pare):
$\int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy = \int_{-1}^{1} (y^2+3)/(2y^2+8)dy = 1/2-1/4arctan(1/2)-(-1/2-1/4arctan(-1/2))=1-1/2arctan(1/2)$ mentre il libro mi dà $\pi/4-1/2arctan(1/2)$...
Sicuramente avrò sbagliato qualcosa io...
Che cosa ne pensate?
Grazie di tutto cuore a tutti quanti!!!!!
Davide
Scusatemi se sono di nuovo qua con un altro integrale doppio, ma non sono mai sicuro se sbaglio io o il libro e non vorrei apprendere metodi sbagliati... Esaminando e riesaminando e rifacendo da capo i miei calcoli, mi torna sempre lo stesso risultato...
Devo calcolare$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy$ per $D={(x,y): x>=0,y^2<=1,x^2-3<=y^2<=x^2}$.
D mi sembra l'area della porzione di piano delimitata dalle rette x=0, y=1, y=-1 e dall'iperbole $x=sqrt(y^2+3)$, quindi calcolerei
$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy = \int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy$.
Dato che mi pare che $\int x/(x^2+1)^2 dx = -1/(2x^2+2)+C$ direi che
$\int\int_Dx/(x^2+1)^2dxdy = \int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy = \int_{-1}^{1} -1/(2(y^2+3)+2)-(-1/2) dy = \int_{-1}^{1} (y^2+3)/(2y^2+8)dy$
Ora, dal momento che mi sembra che $\int (y^2+3)/(2y^2+8)dy = 1/2y-1/4arctan(y/2)+C$ (ho fatto varie volte la verifica derivando e mi sembra giusto...), direi che, tenendo conto del fatto che arctan(-x)=-arctan x (o almeno così mi pare):
$\int_{-1}^{1}(\int_{0}^{sqrt(y^2+3)}x/(x^2+1)^2dx)dy = \int_{-1}^{1} (y^2+3)/(2y^2+8)dy = 1/2-1/4arctan(1/2)-(-1/2-1/4arctan(-1/2))=1-1/2arctan(1/2)$ mentre il libro mi dà $\pi/4-1/2arctan(1/2)$...
Sicuramente avrò sbagliato qualcosa io...
Che cosa ne pensate?
Grazie di tutto cuore a tutti quanti!!!!!
Davide
Risposte
Ho scoperto che Wolfram Alpha calcola anche integrali definiti e pure multipli!
Se le premesse sono corrette, sembrerebbe dare ragione a me, se sono corrette...:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%2F%28x^2%2B1%29^2+dx+dy%2C+x%3D0..Sqrt[y^2%2B3]%2C+y%3D-1..1
Ciao a tutti!!!
P.S.: Mi scuso per non essere riuscito ad inserire in modo da poterci cliccare sopra l'URL...
Se le premesse sono corrette, sembrerebbe dare ragione a me, se sono corrette...:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x%2F%28x^2%2B1%29^2+dx+dy%2C+x%3D0..Sqrt[y^2%2B3]%2C+y%3D-1..1
Ciao a tutti!!!
P.S.: Mi scuso per non essere riuscito ad inserire in modo da poterci cliccare sopra l'URL...
"DavideGenova":Non hai da scusarti, quegli URL così pieni zeppi di caratteri speciali danno sempre problemi al parser.
P.S.: Mi scuso per non essere riuscito ad inserire in modo da poterci cliccare sopra l'URL...
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