Integrale doppio

[bad.alex]

Buona sera a tutti. Ho difficoltà con l'integrale della seguente funzione:
$(x^2y)/(x^4+y^4)$
definito nell'insieme
$A={(x,y)in R^2 : y>=0, x<=x^2+y^2<=2x}$
Sinora ho svolto ricorrendo al cambio di variabili in coordinate polari, trovando gli estremi di integrazione $costheta<=rho<=2costheta , 0<=theta<=pi$
Arrivo però al calcolo del seguente integrale:
$int (( cos^2theta sintheta)/(cos^4theta+sin^4theta))d(theta)$con estremi 0 e pi.
Sapreste aiutarmi? Vi ringrazio.

Alex

[pater46]

Potresti mostrarmi come sei arrivato a quella forma?

Partiamo da $ int_0^\pi d\theta cos^2\theta sin\theta int_{cos\theta}^{2cos\theta} d\rho \frac { \rho^3 } { \rho^3cos^4\theta + sin\theta } $

[bad.alex]

Scusami Pater...nella funzione iniziale, al denominatore c'è $x^4+y^4$. Ho modificato ora. Mi era sfuggito prima di pubblicare...

[pater46]

Ah ok, infatti mi era sembrato un pò strano come fossi riuscito ad integrare quella cosa lì Do un'occhiata e ti dico

[pater46]

Allora, dunque l'integrale in $rho$ viene $1$, ed abbiamo $ int_{cos\theta}^{2cos\theta} d\rho = cos\theta$.

Il tuo integrale allora non è quello che dici tu ma $ int_0^\pi ((cos\theta)^3sin\theta)/( (cos\theta)^4+(sin\theta)^4) $ che è risolvibile. Prova un pò a risolverlo, nel caso posta se hai problemi.

[bad.alex]

Tutto chiaro ora!
ho svolto ricorrendo alla sostituzione tg(x/2)=v
Grazie pater46