Integrale doppio

[dlbp]

ho questo integrale

$int int y(2-x^2-y^2) dxdy

dove $ D:{(x,y)in R^2: y>=0; x^2+y^2>=2;(x-1)^2+y^2<=1}

Sono 2 circonferenze una di centro (0,0) e raggio $sqrt(2)$ e l'altra di centro (1,0) e raggio 1 ma non riesco a capire una volta passato a coordinate polari quali sono gli estremi di integrazione

[pater46]

Allora, se non ho fatto male il disegno, ti sconsiglierei di usare le polari.

Dal dominio ti rendi subito conto che:

1) la y oscilla tra 0 e il punto d'intersezione delle due circonferenze.
2) la x è invece compresa tra la parte destra della curva di raggio $\sqrt(2)$ e la parte sinistra di quella di raggio $1$. Ovvero:

$\sqrt(2-y^2) <= x <= 1+\sqrt(1-y^2)$

Probabilmente non sarà molto bello integrare questa cosa, tu intanto prova... Altrimenti puoi ancora provare con le polari, solo che... non mi viene di consigliartele. Forse traslando il sistema in uno di centro $(1,0)$ viene meglio, perchè $r$ sarebbe compreso tra un'estremo variabile ( quello dovuto alla prima circonferenza ) ed uno fisso ( ovvero quello dovuto alla circonferenza di raggio 1, al cui interno siamo ). Anche $\theta$ non dovrebbe essere difficile da trovare, prova a fare un paio di prove!

[adaBTTLS1]

$phi in [0,pi/4] -> rho in [sqrt2, 2 cos phi]$.
considera che i triangoli con base $(0,0), (2,0)$ e vertice sulla seconda circonferenza sono rettangoli.
ricontrolla. prova e facci sapere. ciao.