Integrale Doppio
Salve ho un po di problemi con questo integrale doppio
$int int_(D) 1/(x^2+y^2)^2 dx dxy$
dove D è la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalle curve: $x^2 + y^2 = 1$ , $x^2 + y^2 = 4$ , $y = 0$ , $y = 1$
E' possibile descrivere l'insieme in coordinate polari o devo per forza utilizzare le cartesiane?
$int int_(D) 1/(x^2+y^2)^2 dx dxy$
dove D è la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalle curve: $x^2 + y^2 = 1$ , $x^2 + y^2 = 4$ , $y = 0$ , $y = 1$
E' possibile descrivere l'insieme in coordinate polari o devo per forza utilizzare le cartesiane?
Risposte
dovrebbe venirti molto semplice con le polari..
enr87 ho provato con le polari anche io...però ho qualche problema con le limitazioni...
$1<=\rho<=2$
per quanto riguarda la $\theta$
ho pensato che se y varia tra 0 e 1
si potrebbe avere $0<=\rhosen\theta<=1$ cioè $0<=\theta<=arcsen(1/\rho)$
che dici ... però poi l'integrale mi viene un pò difficile...
$1<=\rho<=2$
per quanto riguarda la $\theta$
ho pensato che se y varia tra 0 e 1
si potrebbe avere $0<=\rhosen\theta<=1$ cioè $0<=\theta<=arcsen(1/\rho)$
che dici ... però poi l'integrale mi viene un pò difficile...
Il problema è questo. Se lo fai con le polari hai che il raggio ti cambia, mentre l'angolo no.
In particolare, l'angolo oscilla tra $0$ e $\pi/2$. Il problema è il raggio.
Il raggio oscilla tra unja coordinata fissa, ovvero $1$, ed una variabile, che potremmo esprimere ( concettualmente ) come $ min(2, 2/sin\theta)$
Ora, fino al punto d'intersezione tra retta $y=1$e circonferenza esterna ( trovatevi l'angolo, chiamiamolo $\theta_1$ ), potete usare l'integrale $int_0^(\theta_1) d\theta int_1^2 f dr$, Dopo però le cose cambiano, e l'integrale diventa $ int_(\theta_1)^(\pi/2) d\theta int_1^(2/sin\theta) f dr$.
Fatemi sapere se vi risulta!
In particolare, l'angolo oscilla tra $0$ e $\pi/2$. Il problema è il raggio.
Il raggio oscilla tra unja coordinata fissa, ovvero $1$, ed una variabile, che potremmo esprimere ( concettualmente ) come $ min(2, 2/sin\theta)$
Ora, fino al punto d'intersezione tra retta $y=1$e circonferenza esterna ( trovatevi l'angolo, chiamiamolo $\theta_1$ ), potete usare l'integrale $int_0^(\theta_1) d\theta int_1^2 f dr$, Dopo però le cose cambiano, e l'integrale diventa $ int_(\theta_1)^(\pi/2) d\theta int_1^(2/sin\theta) f dr$.
Fatemi sapere se vi risulta!
sto uscendo pazzo per cercare di descrivere questo insieme in coordinate polari!!! voi di solito che procedimento utilizzate per effettuare il cambio?
Ma la gente oggi non li legge i miei post? Ti ho spiegato per filo e per segno come fare!
non capisco la difficoltà, basta solo sostituire.. la soluzione di pater46 va quasi bene (il primo integrale doppio è corretto, il secondo ha qualcosa che non va.. e poi ne manca un altro). provate a disegnare il dominio
Un'altro integrale? Credevo di averlo disegnato correttamente il dominio, cosa ha che non va?
non vedi che rho è funzione di theta solo per $pi/6 < theta < 5/6 pi$? poi fai attenzione all'estremo superiore di rho..
non ne sono convinto. la retta $y=1$ è tangente alla circonferenza interna. Pertanto ( deducendo che $pi/6$ è l'angolo di intersezione del raggio con la retta di prima ), fino a $\pi/6$ il primo integrale va bene, mentre da $pi/6$ fino a $\pi/2$ varia in accordo col varose assunto da $\theta$.
ops, mi sono accorto adesso che diceva nel primo quadrante (io pensavo fino a $pi$..) ecco perchè non tornava come il tuo!
non torna però l'estremo superiorie di $rho$
non torna però l'estremo superiorie di $rho$
ok vi ringrazio sono riuscito a capire più o meno tutto... l'unica cosa che non mi torna è, come diceva enr87, l'estremo superiore di $rho$. Perchè dovrebbe essere $2/sintheta$?
Effettivamente non torna. Ho sbagliato.
La condizione sarebbe $ \rho sin \theta <= 1 => \rho <= 1/sin\theta $ Non era due al numeratore
Mea culpa.
La condizione sarebbe $ \rho sin \theta <= 1 => \rho <= 1/sin\theta $ Non era due al numeratore
Mea culpa.
già 
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