Integrale doppio!
$ int int_(D)|y|/(x^2+y^2)^2 dxdy $ $ D= 1
non riesco a fare il cambiamento di variabili.. devo usare la trasformazione
$ x=2+ro cost , y=ro sent $
e quali sono le limitazioni??chi mi aiuta
non riesco a fare il cambiamento di variabili.. devo usare la trasformazione
$ x=2+ro cost , y=ro sent $
e quali sono le limitazioni??chi mi aiuta
Risposte
ciao giggio,
Ho disegnato il tuo dominio:
$D={(x,y)inRR: 1<=x^2+y^2<4x , |y|
In pratica, una circonferenza centrata nell'origine con raggio 1 ed una centrata su x=2 con raggio 2, piu' le due semirette del valore assoluto nel 1* e 4* quadrante con coeff angolare di $sqrt3$.
Ora, ci sono molti metodi per proseguire, ed uno di questi e' proprio quello che tu hai accennato:
il cambiamento in coordinate:
${(x=2+rho cos theta),(y=rhosin theta):} $
ti permette di muoverti facilmente nel dominio che abbiamo considerato.
Per quanto concerne le limitazioni, io ti consiglierei di dividerti l'integrale in piu' pezzi e calcolartelo come somma di integrali su domini minori di D.
Quindi adopererei prima le limitazioni:
${(rho in[0,2]),(theta in[-(2pi)/3,(2pi)/3]):}
gli angoli per l'intervallo di variazione di $theta$ mi sono stati suggeriti dai punti di intersezione tra le semirette e la circonferenza raggio 2.
Una volta calcolato questa sezione del dominio D, dovresti poi continuare andandoti a calcolare quelle due parti piu' "interessanti" con lo stesso metodo, oppure sezionandoli ulteriormente.
In ogni caso, a giudicare dalla "fortuna" che $Atan(sqrt3)=pi/3$, si potrebbe anche provare a calcolare il tutto con Gauss-Green, siccome tutte le tue curve sarebbero facilmente Parametrizzabili
.
PS: non dimenticare di studiare la positivita' della tua funzione integranda, dettata dal valore che $|y|$ puo' assumere: ${(y, if y>0),(-y, if y<0):}$
Ho disegnato il tuo dominio:
$D={(x,y)inRR: 1<=x^2+y^2<4x , |y|
In pratica, una circonferenza centrata nell'origine con raggio 1 ed una centrata su x=2 con raggio 2, piu' le due semirette del valore assoluto nel 1* e 4* quadrante con coeff angolare di $sqrt3$.
Ora, ci sono molti metodi per proseguire, ed uno di questi e' proprio quello che tu hai accennato:
il cambiamento in coordinate:
${(x=2+rho cos theta),(y=rhosin theta):} $
ti permette di muoverti facilmente nel dominio che abbiamo considerato.
Per quanto concerne le limitazioni, io ti consiglierei di dividerti l'integrale in piu' pezzi e calcolartelo come somma di integrali su domini minori di D.
Quindi adopererei prima le limitazioni:
${(rho in[0,2]),(theta in[-(2pi)/3,(2pi)/3]):}
gli angoli per l'intervallo di variazione di $theta$ mi sono stati suggeriti dai punti di intersezione tra le semirette e la circonferenza raggio 2.
Una volta calcolato questa sezione del dominio D, dovresti poi continuare andandoti a calcolare quelle due parti piu' "interessanti" con lo stesso metodo, oppure sezionandoli ulteriormente.
In ogni caso, a giudicare dalla "fortuna" che $Atan(sqrt3)=pi/3$, si potrebbe anche provare a calcolare il tutto con Gauss-Green, siccome tutte le tue curve sarebbero facilmente Parametrizzabili
.PS: non dimenticare di studiare la positivita' della tua funzione integranda, dettata dal valore che $|y|$ puo' assumere: ${(y, if y>0),(-y, if y<0):}$
non ho capito come dividere gli integrali
Dovresti disegnare bene il dominio e poi seguire le mie istruzioni .
Prova pero' a farlo anche con Gauss-Green
.
.Prova pero' a farlo anche con Gauss-Green
.
"PandaZero":
Dovresti disegnare bene il dominio e poi seguire le mie istruzioni
Prova pero' a farlo anche con Gauss-Green
mi unisco anch'io al discorso perché è proprio tema del mio prossimo esame. dato che nella funzione integranda abbiamo un valore assoluto dobbiamo divididere l'integrale dato
in $int int_D |y|/(x^2+y^2)^2dxdy=int int_(D_1) y/(x^2+y^2)^2dxdy - int int_(D_2) y/(x^2+y^2)^2dxdy $
dove $D_1$ e $D_2$ sono opportuni domini costruiti considerando rispettivamente per $y if y>0$ e $y if y<0$. Esatto?
come si calcolano le altre due parti..??
non si puo usare la trasformazioni x=rocost e y=rosent e faccio direttamente tutto??con le limitazioni, l angolo compreso tra 300 e 60 e ro compreso tra 1 e 4cost??comunque potresti dirmi quanto ti trovi?
non si puo usare la trasformazioni x=rocost e y=rosent e faccio direttamente tutto??con le limitazioni, l angolo compreso tra 300 e 60 e ro compreso tra 1 e 4cost??comunque potresti dirmi quanto ti trovi?
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