Integrale doppio

[pleyone-votailprof]

devo calcolare quest'integrale $int int_()(1-x^2y )\ dx \ dxy$ dove D è la porzione di piano compresa tra la parabola $y=x^2$,$y=(x^2/4)$ e sotto la retta di equazione $(1/2)(x+1)=y$ prima di tutto ho disegnato il dominio,che se non sbaglio posso considerarlo normale a x,però poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione per x,qualche consiglio????

[PandaZero]

Buonasera,

Leggendo il tuo Dominio, L'ho inteso come $ D={(x,y) in RR^2: y<=x^2 , y>=x^2/4 , y=<(x+1)/2}$ .
Disegnandolo, ho trovato che questo si presentava come somma di due domini minori, che hanno in comune solo il punto $ O(0,0) $.
E' quindi ovvio, considerarli separatamente. Per trovare i punti di intersezione, basta che risolvi i sistemi:

${(y=x^2),(y=(x+1)/2):} rarr {(A(-1/2,1/4)),(B(1,1)):}$

${(y=x^2/4),(y=(x+1)/2):} rarr {(C(1-sqrt3,1-sqrt3/2)),(D(sqrt3+1,sqrt3/2+1)):}$

I quali ti saranno utili per considerare i due domini minori:

$D_1={(x,y) in RR^2: 2y-1<=x<=0 , x^2/4<=y<=x^2}$

$D_2={(x,y) in RR^2: 0<=x<=2y-1 , x^2/4<=y<=x^2}$


A questo punto puoi procedere in piu' modi, ti elenco i due che mi vengono in mente:

a) Utilizzando le formule di Gauss-Green lungo $\deltaD_1$ e $\deltaD_2$. [Dove $\delta$ sta per la Frontiera dei domini].
b) Spezzando ulteriormente i due domini lungo l'ascissa nei punti A(per $D_1$) e B (per $D_2$) e calcolandoti poi i quattro domini con le formule di riduzione. [normali rispetto a X].



Ricorda: Per poter utilizzare al meglio le formule di riduzione, Deve essere necessario che almeno una delle due variabili sia esprimibile NON in funzione dell'altra:
$N_1={(x,y) in RR^2: a<=x<=b , alpha(x)<=y<=beta(x)} rarr $Normale rispetto X.
$N_2={(x,y) in RR^2: gamma(y)<=x<=delta(y) , c<=y<=d} rarr $Normale rispetto Y .


Spero la mia proposta ti convinca