Integrale doppio
Ciao a tutti,
altro problema...
Spero semplice semplice per voi! 
Si tratta del seguente integrale doppio:
$\int int 4sen(xy) dxdy$
con dominio $D = {(x,y) | 0<=x<=1, 0<=y<=1}$
Io ho provato a risolverlo semplicemente integrando prima rispetto a y poi rispetto a x (o viceversa, è uguale) però alla fine mi veniva da calcolare il seno di 1...
Quindi mi sa che ero un po' fuori strada! 
Secondo voi è possibile o forse sarebbe meglio calcolarlo con le coordinate polari???
Grazie a tutti ciao!
altro problema...
Spero semplice semplice per voi! Si tratta del seguente integrale doppio:
$\int int 4sen(xy) dxdy$
con dominio $D = {(x,y) | 0<=x<=1, 0<=y<=1}$
Io ho provato a risolverlo semplicemente integrando prima rispetto a y poi rispetto a x (o viceversa, è uguale) però alla fine mi veniva da calcolare il seno di 1...
Quindi mi sa che ero un po' fuori strada! Secondo voi è possibile o forse sarebbe meglio calcolarlo con le coordinate polari???
Grazie a tutti ciao!
Risposte
Aggiornamento:
un prof di matematica, contattato da un'amica, dice che il risultato è 2...
Però non so che procedimento abbia adottato!
Proverò a informarmi...
Ciao a tutti!
un prof di matematica, contattato da un'amica, dice che il risultato è 2...
Però non so che procedimento abbia adottato!
Proverò a informarmi...
Ciao a tutti!
Il trucco è nell'applicare la formula di riduzione: per calcolare [tex]$\int_0^1 \int_0^1 4\sin xy \ \text{d} x\text{d} y$[/tex] basta calcolare prima l'integrale rispetto ad [tex]$y$[/tex], ossia:
[tex]$\int_0^1 4\sin xy\ \text{d} y$[/tex]
pensando ad [tex]$x$[/tex] come una costante, in modo da ottenere una funzione [tex]$f(x)$[/tex] della sola [tex]$x$[/tex]; poi bisogna calcolare l'integrale di [tex]$f$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex], cioè:
[tex]$\int_0^1 f(x)\ \text{d} x$[/tex].
Prova a vedere cosa esce fuori.
[tex]$\int_0^1 4\sin xy\ \text{d} y$[/tex]
pensando ad [tex]$x$[/tex] come una costante, in modo da ottenere una funzione [tex]$f(x)$[/tex] della sola [tex]$x$[/tex]; poi bisogna calcolare l'integrale di [tex]$f$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex], cioè:
[tex]$\int_0^1 f(x)\ \text{d} x$[/tex].
Prova a vedere cosa esce fuori.
Grazie gago82,
è esattamente quello che facevo io!
Infatti mi veniva:
$\int_0^1 4\sin xy\ \text{d} y$ = $-4/x cos (xy)$ che, calcolato sugli estremi 1 e 0, mi dava:
$-4/x cosx + 4/x$.
A questo punto dovevo fare:
$\int_0^1 (-4/x cosx + 4/x) dx$
Che appunto mi portava a dover calcolare senx con x=1 e x=0!!
Dici che è possibile?!?
è esattamente quello che facevo io!
Infatti mi veniva:
$\int_0^1 4\sin xy\ \text{d} y$ = $-4/x cos (xy)$ che, calcolato sugli estremi 1 e 0, mi dava:
$-4/x cosx + 4/x$.
A questo punto dovevo fare:
$\int_0^1 (-4/x cosx + 4/x) dx$
Che appunto mi portava a dover calcolare senx con x=1 e x=0!!
Dici che è possibile?!?
Ed infatti la funzione [tex]$\frac{1-\cos x}{x}$[/tex] non mi pare sia dotata di primitiva elementare... In altre parole quell'integrale non si può calcolare con i metodi che si insegnano in Analisi I.
Sei sicura del testo dell'esercizio?
Se sei sicura, non è che nel corso non si è anche parlato di Analisi Complessa e della teoria dei residui?
Sei sicura del testo dell'esercizio?
Se sei sicura, non è che nel corso non si è anche parlato di Analisi Complessa e della teoria dei residui?
Sì sì, sono sicura del testo,
e sono sicura che nel corso non si è parlato di Analisi Complessa e della teoria dei residui...
L'esercizio che ho postato fa parte di una prova d'esame, un test a risposta multipla con 4 possibili risposte:
A- $2$
B- $-3\pi$
C- $4pi$
D- nessuna delle risposte
A questo punto mi oriento verso la D???
Di nuovo grazie, ciao!
e sono sicura che nel corso non si è parlato di Analisi Complessa e della teoria dei residui...
L'esercizio che ho postato fa parte di una prova d'esame, un test a risposta multipla con 4 possibili risposte:
A- $2$
B- $-3\pi$
C- $4pi$
D- nessuna delle risposte
A questo punto mi oriento verso la D???
Di nuovo grazie, ciao!
Tanto per toglierti la curiosità, l'integrale fa [tex]$4[\gamma - \text{Ci}(1)]$[/tex], dove per la funzione [tex]$\text{Ci}(\cdot)$[/tex] guarda qua:
http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html
mentre per la costante [tex]$\gamma$[/tex] di Eulero-Mascheroni guarda qua:
http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html
Comunque non è detto che tu debba calcolare l'integrale (tra l'altro il risultato che ho scritto sopra è solo un modo più figo per dire che la funzione non è integrabile elementarmente, visto che la [tex]$\text{Ci}(\cdot)$[/tex] è definita come un integrale), magari ragionando un pò puoi arrivare a escludere A, B e C.
http://mathworld.wolfram.com/CosineIntegral.html
mentre per la costante [tex]$\gamma$[/tex] di Eulero-Mascheroni guarda qua:
http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html
Comunque non è detto che tu debba calcolare l'integrale (tra l'altro il risultato che ho scritto sopra è solo un modo più figo per dire che la funzione non è integrabile elementarmente, visto che la [tex]$\text{Ci}(\cdot)$[/tex] è definita come un integrale), magari ragionando un pò puoi arrivare a escludere A, B e C.
Come suggeriva elgiovo, che non siano possibili né B né C si vede in maniera elementare: invero dato che per [tex]$(x,y)\in [0,1]^2$[/tex] è [tex]$0\leq xy\leq x\leq 1<\tfrac{\pi}{2}$[/tex], si ha pure:
[tex]$0\leq \sin xy\leq \sin x \Rightarrow 0\leq \int_0^1 \int_0^1 4\sin xy\ \text{d} x\text{d} y \leq 4\int_0^1 \sin x\ \text{d} x \ \cdot \int_0^1 \text{d} y=4(1-\cos 1)$[/tex]
con [tex]$4(1-\cos 1) <4$[/tex] (ed a fortiori [tex]$<4\pi$[/tex]).
Però risulta anche:
[tex]$1-\cos 1\approx 0.46$[/tex] (approssimato per eccesso)
ergo [tex]$4(1-\cos 1)\approx 1.84 <2$[/tex], e dunque è da escludersi pure la A.
Dato che "Una volta escluso l'impossibile, ciò che resta, per quanto improbabile, è la verità" (cit.... Vediamo chi la indovina
), la risposta giusta è la D.
P.S.: Numericamente è [tex]$ \int_0^1 \int_0^1 4\sin xy\ \text{d} x\text{d} y \approx 0.959247$[/tex].
[tex]$0\leq \sin xy\leq \sin x \Rightarrow 0\leq \int_0^1 \int_0^1 4\sin xy\ \text{d} x\text{d} y \leq 4\int_0^1 \sin x\ \text{d} x \ \cdot \int_0^1 \text{d} y=4(1-\cos 1)$[/tex]
con [tex]$4(1-\cos 1) <4$[/tex] (ed a fortiori [tex]$<4\pi$[/tex]).
Però risulta anche:
[tex]$1-\cos 1\approx 0.46$[/tex] (approssimato per eccesso)
ergo [tex]$4(1-\cos 1)\approx 1.84 <2$[/tex], e dunque è da escludersi pure la A.
Dato che "Una volta escluso l'impossibile, ciò che resta, per quanto improbabile, è la verità" (cit.... Vediamo chi la indovina
), la risposta giusta è la D.P.S.: Numericamente è [tex]$ \int_0^1 \int_0^1 4\sin xy\ \text{d} x\text{d} y \approx 0.959247$[/tex].
"gugo82":Martin Mystére?
"Una volta escluso l'impossibile, ciò che resta, per quanto improbabile, è la verità" (cit.... Vediamo chi la indovina
[OT]
Ma anche no...
La fonte è più classica, diciamo fine '800 - inizio '900; però la frase potrebbe anche essere stata ripresa su MM, non so.
[/OT]
Ma anche no...
La fonte è più classica, diciamo fine '800 - inizio '900; però la frase potrebbe anche essere stata ripresa su MM, non so.
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Grazie mille gugo 82 e elgiovo, 
siete stati gentilissimi! Diciamo che D era anche la mia risposta, più per intuito che altro...
Cmq la citazione viene da Sherlock Holmes (ovvero Arthur Conan Doyle).
Grazie di nuovo ciao!!
siete stati gentilissimi! Diciamo che D era anche la mia risposta, più per intuito che altro...
Cmq la citazione viene da Sherlock Holmes (ovvero Arthur Conan Doyle).
Grazie di nuovo ciao!!
[OT]
E certo!
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"Samantha79":
la citazione viene da Sherlock Holmes (ovvero Arthur Conan Doyle).
E certo!
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