Integrale doppio
Calcolare $int int 1/sqrt(x^2+y^2)dxdy$ nella regione compresa fra la prima bisettrice x=y e la parabola y=x^2
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere $0
$\int int 1/sqrt(\rho^2(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta))\rhod\rhod\vartheta = \int int d\rhod\vartheta$
solo che non sono riuscito a ricavare gli estremi di integrazione.
Allora ho pensato di risolverlo raccogliendo $x^2$ al denominatore in modo da avere
$\int int 1/(sqrt(x^2(1+y^2/x^2)))dxdy = \int int 1/(xsqrt(1+(y/x)^2)) dxdy$
ma poi ho notato che per risolverlo sfruttando la derivata dell'arcoseno, al denominatore avrei dovuto avere $sqrt(1-(y/x)^2)$
e ora non so più come risolverlo.. qualcuno mi può dare una mano?
Grazie!!
Gli estremi di integrazione dovrebbero essere $0
$\int int 1/sqrt(\rho^2(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta))\rhod\rhod\vartheta = \int int d\rhod\vartheta$
solo che non sono riuscito a ricavare gli estremi di integrazione.
Allora ho pensato di risolverlo raccogliendo $x^2$ al denominatore in modo da avere
$\int int 1/(sqrt(x^2(1+y^2/x^2)))dxdy = \int int 1/(xsqrt(1+(y/x)^2)) dxdy$
ma poi ho notato che per risolverlo sfruttando la derivata dell'arcoseno, al denominatore avrei dovuto avere $sqrt(1-(y/x)^2)$
e ora non so più come risolverlo.. qualcuno mi può dare una mano?
Grazie!!
Risposte
Quella è la derivata dell'arcoseno iperbolico, vedi qui. In fin dei conti per trovare la primitiva non cambia molto...
Non riesco proprio ad arrivare ad una conclusione; considerando l'arcoseno iperbolico mi viene:
$\int_0^1 int_{x^2}^x 1/x*1/sqrt(1+(y/x)^2) dxdy = \int_0^1 (arcsenh 1 - arcsenh x) dx = arcsenh1 - \int_0^1 arcsenh x dx $
e ora come continuo? mi sa che lo sto solo complicando.. il risultato alla fine deve essere $sqrt(2) - 1$ e non so come possa venir fuori da quello che ho scritto.
$\int_0^1 int_{x^2}^x 1/x*1/sqrt(1+(y/x)^2) dxdy = \int_0^1 (arcsenh 1 - arcsenh x) dx = arcsenh1 - \int_0^1 arcsenh x dx $
e ora come continuo? mi sa che lo sto solo complicando.. il risultato alla fine deve essere $sqrt(2) - 1$ e non so come possa venir fuori da quello che ho scritto.
L'integranda nell'ultimo integrale è $\sinh^{-1}$ non l'arcoseno... Sul link di prima trovi come esprimerlo tramite un logaritmo.
allora viene $ln(1+sqrt(2)) - \int_0^1 ln(x + sqrt(x^2+1)) dx$
Si, esatto. E adesso puoi andare avanti per parti. Derivi il logaritmo e poi ti diverti a razionalizzare la frazione e speri che tutto vada per il meglio...come in effetti è...vedi qui per maggiori dettagli.
Si poteva procedere tranquillamente in coordinate polari imponendo:
[tex]0\leq\theta\leq\pi/4[/tex]
[tex]0\leq\rho\leq\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}[/tex]
[tex]0\leq\theta\leq\pi/4[/tex]
[tex]0\leq\rho\leq\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}[/tex]
E' vero così è più rapido. Finalmente ce l'ho fatta. Grazie a tutti!!
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