Integrale doppio

[andra_zx]

Ciao a tutti, ho uno stupido problema con un integrale: $\int int 1/sqrt(x^2 + 4y^2) dydx$ da integrare nel tringolo di vertici (1,0), (2,0), (2,2). Chiamato $\Omega$ la superficie di integrazione, la posso scrivere come $\Omega = {(x,y) in R^2 : 1 <= x <= 2, 0 <= y <= 2x - 2}$, essendo semplice rispetto all' asse y, posso cominciare con l' integrazione della variabile y, ma non riesco proprio a trovarne una primitiva! Ho provato la sostituzione $y^2 = t$ ma niente, e ho provato anche a sostituire x e y con le coordinate polari centrate nell origine, ma ricavarsi $\phi$ dalla disuguagliaza con la y, complica solo la vita..

qualcuno potrebbe darmi un suggerimento ?

Grazie a tutti..

[dissonance]

Insisti con le coordinate polari. E' vero che il dominio di integrazione diventa un po' meno immediato (ma neanche tanto, se ragioni geometricamente), ma la funzione da integrare si semplifica di brutto.

[andra_zx]

"dissonance":Insisti con le coordinate polari. E' vero che il dominio di integrazione diventa un po' meno immediato (ma neanche tanto, se ragioni geometricamente), ma la funzione da integrare si semplifica di brutto.

Già come immaginavo le coordinate polari sono la strada giusta.. vabbè stanotte ci penso e poi vedremo..

[dissonance]

Ah però aspetta, ho visto che hai modificato la traccia. Se è così forse è meglio restare in coordinate cartesiane... oppure è ancora meglio se ne parliamo domani.

[andra_zx]

Ho pensato che forse era meglio con le elittiche, del tipo ${(x = \rhocos\phi), (y = 1/2\rhosen\phi):}$ così da eliminare il coeff. 4 nella funzione integranda. E ottenere come dominio: $T = {(\rho,\phi) : 1/cos\phi <= \rho <= 2/cos\phi, 0 <= 1/2\rhosen\phi <= 2\rhocos\phi - 2}$ , poi per trovare il valore massimo di $\phi$ dovrei sostituire nella seconda disuguaglianza $\rho = 2/cos\phi$ così da ottenere un intervallo del tipo: $o <= \phi <= arctg4$. è un ragionamento un pò a naso ma non sembra così scorretto.. secondo te ?

[dissonance]

Ciao, scusa il ritardo. Le coordinate sono sicuramente ben scelte ma non mi convince come hai parametrizzato il dominio. Sono d'accordo sulla condizione su $rho$ che si ottiene analiticamente come hai fatto tu; ma per la condizione su $phi$ farei un ragionamento geometrico:

Dobbiamo fare variare $phi$ in un opportuno intervallo. Chiaramente il valore minimo deve essere $0$, mentre quello massimo è segnato in figura. Ed è $pi/4$. Quindi il dominio è individuato dalle condizioni $0<= phi <= pi/4, 1/(cos phi) <= rho <= 2/(cos phi)$. Non capisco da dove prendi quell' $arctan 4$.

[andra_zx]

ah giusto, non ci avevo pensato..

cmq all' inizio avevo ricavato $\phi$ facendo il sistema: ${(\rho = 2/cos\phi), (1/2\rhosen\phi = 2\rhocos\phi - 2):}$ Se sostuito la prima equazione nella seconda, ottengo $\phi$. Ho ragionato in questo modo perchè ho pensato che al valore di $\rho$ massimo, corrisponda il valore massimo di $\phi$

Ah e comunque con questo metodo viene $\phi = arctg2$

[dissonance]

"andra_zx":Ho ragionato in questo modo perchè ho pensato che al valore di $\rho$ massimo, corrisponda il valore massimo di $\phi$

Guarda, è sbagliato. In queste cose ti conviene sempre ragionare geometricamente, ove possibile. Prova a disegnare l'insieme definito in coordinate polari da $0 <= phi <= pi/4, 1/(cos phi) <= rho <= 2/(cos phi)$, ti accorgerai che è proprio il triangolo che ti serve.