Integrale doppio

[algalord-votailprof]

$\int int sqrt(y) dxdy$

dominio è compreso tra $(0,0)$ $(1,1)$ $(0,-1)$

posso spezzare l'integrale in tre parti?

$\int_{0}^{1/2}[\int_{2x-1}^{0} sqrt(-y)dy]dx$ + $\int_{1/2}^{1}[\int_{2x-1}^{x} sqrt(y)dy]dx$ + $\int_{0}^{1/2}[\int_{0}^{x} sqrt(y)dy]dx$



è giusto?

[ciampax]

Ho un dubbio: come fai a definire l'integrale per $y<0$ ? (in pratica, sei sicuro di quel punto $(0,-1)$ ?) O per caso l'argomento dell'integrale è $\sqrt{|y|}$ ?

[algalord-votailprof]

si sono sicuro, lo sta ricopiando da un compito che ha dato la Germano. $Y<0$ sta nel quarto quadrante per questo ho scritto $-y$

[ciampax]

Allora c'è qualcosa che non va: il dominio della funzione che devi integrare è il semipiano positivo (o superiore), mentre tu stai cercando di integrare su una porzione di spazio che sta al di fuori del dominio. Ergo (almeno secondo me) quell'integrale non esiste!

[algalord-votailprof]

questo è quello che ho pensato

[ciampax]

No senti, allora forse non ci siamo capiti: per calcolare un integrale, questo può essere fatto all'interno del dominio della funzione integranda e, al più, sui punti che costituiscono il bordo. Ora, la funzione $f(x,y)=\sqrt{y}$ è definita per tutti i punti del piano per cui $y\ge 0$. Ma come hai mostrato anche tu disegnando il dominio di integrazione, hai tutta una parte (quella che hai segnato con la grigliatura nera) in cui $y<0$ e quindi su tale pezzo la funzione non è definita. Questo vuol dire che l'ì sopra l'integrale non lo puoi calcolare e quindi che non puoi determinare il valore dell'integrale stesso sul dominio di integrazione dato! E' chiaro?

Tuttalpiù, se la funzione fosse definita come $\sqrt{y}$ per le $y>0$ e $=0$ per le $y<0$, forse avresti un senso. Perché non scrivi tutto il testo dell'esercizio completo?

[algalord-votailprof]

1)Il testo dell'esercizio è quello lì. i punti sono quelli, non mi sto sbagliando.
2)ma le y nella griglia nera non sono positive?..mi sembra che lì la funzione sia definita.
3) tu come scriveresti questo integrale?

[ciampax]

La griglia nera è quella con le $y<0$ (cioè sotto l'asse delle $x$. Io non lo scriverei proprio, perché secondo me la traccia è scritta male!