Integrale doppio
allora.. problemino..
la mia $f(x,y)$ e':
$f(x,y)=y/(sqrt(x))$
devo calcolare l'integrale sul dominio:
$A:={(x,y) in \RR^2|x>=0,1/x<=y<=2/x,sqrt(x)<=y<=2 sqrt(x)}$
quindi
$\int_A f(x,y)$
come devo affrontare il problema??
la mia $f(x,y)$ e':
$f(x,y)=y/(sqrt(x))$
devo calcolare l'integrale sul dominio:
$A:={(x,y) in \RR^2|x>=0,1/x<=y<=2/x,sqrt(x)<=y<=2 sqrt(x)}$
quindi
$\int_A f(x,y)$
come devo affrontare il problema??
Risposte
Visto che $A$ è l'insieme in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("labels","grid");
plot("2*sqrt(x)",0.63,1);
plot("1/x",0.63,1);
plot("2/x",1,1.59);
plot("sqrt(x)",1,1.59);[/asvg]
potresti pensare di spezzare $A$ in due domini normali all'asse $(x)$, ad esempio.
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("labels","grid");
plot("2*sqrt(x)",0.63,1);
plot("1/x",0.63,1);
plot("2/x",1,1.59);
plot("sqrt(x)",1,1.59);[/asvg]
potresti pensare di spezzare $A$ in due domini normali all'asse $(x)$, ad esempio.
scusa, ma non e' normale all'asse $Y$??
quindi praticamente io dovrei fare il tutto su un dominio
$D:{(x,y) in \RR^2 | 1<=y<=2, f(y)<=x<=g(y), f$ e $g in C([1,2])}$
sbaglio? ma come dico all'integrale di stare proprio in quell'area li'??
quindi praticamente io dovrei fare il tutto su un dominio
$D:{(x,y) in \RR^2 | 1<=y<=2, f(y)<=x<=g(y), f$ e $g in C([1,2])}$
sbaglio? ma come dico all'integrale di stare proprio in quell'area li'??
Semplice: scrivi che
$A=A_1\cup A_2$ dove $A_1=\{(x,y)\in RR^2\ : \ \alpha\le x\le 1,\ 1/x\le y\le 2\sqrt{x}\}$ e $A_2=\{(x,y)\in RR^2\ :\ 1\le x\le \beta,\ \sqrt{x}\le y\le 2/x\}$ dove $\alpha$ è il punto di intersezione tra le curve $1/x$ e $2\sqrt{x}$, mentre $\beta$ è il punto di intersezione tra le curve $\sqrt{x}$ e $1/x$. A questo punto il tuo integrale su $A$ si spoezza nei due integrali su $A_1$ e $A_2$ che sono semplici da calcolare.
$A=A_1\cup A_2$ dove $A_1=\{(x,y)\in RR^2\ : \ \alpha\le x\le 1,\ 1/x\le y\le 2\sqrt{x}\}$ e $A_2=\{(x,y)\in RR^2\ :\ 1\le x\le \beta,\ \sqrt{x}\le y\le 2/x\}$ dove $\alpha$ è il punto di intersezione tra le curve $1/x$ e $2\sqrt{x}$, mentre $\beta$ è il punto di intersezione tra le curve $\sqrt{x}$ e $1/x$. A questo punto il tuo integrale su $A$ si spoezza nei due integrali su $A_1$ e $A_2$ che sono semplici da calcolare.
allora, per $alpha$ e $beta$ le equazioni sono:
$alpha:1/x=2 sqrt(x)=>1=2x sqrt(x)=>1/2=sqrt(x^3)=>x=1/(root(3)(4))=alpha$
mi dite se e' corretto per favore?? perche' dopo i conti non e' che mi vengano proprio benissimo
$alpha:1/x=2 sqrt(x)=>1=2x sqrt(x)=>1/2=sqrt(x^3)=>x=1/(root(3)(4))=alpha$
mi dite se e' corretto per favore?? perche' dopo i conti non e' che mi vengano proprio benissimo
allora, vediamo se cosi funziona..
$alpha = 1/(root(3)4), beta = root(3)4$
quindi gli integrali con le notazioni $A_1 $ e $A_2$ sono:
$int_(A_1) f(x,y)=int_alpha^1 1/(sqrt(x))dx int_(1/x) ^(2sqrt(x)) y dy$
$int_(A_2)f(x,y)=int_1^beta 1/(sqrt(x))dx int_(1/x) ^(2sqrt(x)) y dy$
i risultati mi vengono:
$int_(A_1) f(x,y)=1/3$
$int_(A_2)f(x,y)=1/3$
quindi l'integrale e' $2/3$
potreste darmi un'occhiata ai conti??
$alpha = 1/(root(3)4), beta = root(3)4$
quindi gli integrali con le notazioni $A_1 $ e $A_2$ sono:
$int_(A_1) f(x,y)=int_alpha^1 1/(sqrt(x))dx int_(1/x) ^(2sqrt(x)) y dy$
$int_(A_2)f(x,y)=int_1^beta 1/(sqrt(x))dx int_(1/x) ^(2sqrt(x)) y dy$
i risultati mi vengono:
$int_(A_1) f(x,y)=1/3$
$int_(A_2)f(x,y)=1/3$
quindi l'integrale e' $2/3$
potreste darmi un'occhiata ai conti??
Il primo è giusto. Il secondo è
$\int_{A_2} f(x,y)\ dx\ dy=\int_1^{\sqrt[3]{4}}\ 1/\sqrt{x}\ dx\int_\sqrt{x}^{2/x}\ y\ dy=1/3$
Mi sembra che torni (contorlla solo di nuovo l'integrale su $A_2$.)
$\int_{A_2} f(x,y)\ dx\ dy=\int_1^{\sqrt[3]{4}}\ 1/\sqrt{x}\ dx\int_\sqrt{x}^{2/x}\ y\ dy=1/3$
Mi sembra che torni (contorlla solo di nuovo l'integrale su $A_2$.)
ma si, certo, ho sbagliato a copiare e incollare la formula. grazie mille, l'ho fatto come hai scritto tu..
Perfetto!
grazie a te e al solito gugo che ormai e' onnipresente nei miei post 
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