Integrale doppio
Ragazzi ho ancora difficoltà a fare gli integrali doppi, o più che altro non riesco a capire i domini a cosa fanno riferimento.
Allora l'esercizio dice:
Calcolare $int int_D f(x,y) dxdy$ dove:
$f(x,y)=1/[5-(x^2+y^2)]$ e $D={(x,y) x^2+y^2<=1 ,y<=sqrt3|x|}$
Allora ho capito che il $x^2+y^2<=1$ è tutto il cerchio interno alla circonferenza l'altra sono due rette (perchè in valore assoluto) ma che non si intersecano nel centro della circonferenza e quindi mi è difficile usare le coordinate polari.Mi spiegate voi come fareste?
Grazie
Allora l'esercizio dice:
Calcolare $int int_D f(x,y) dxdy$ dove:
$f(x,y)=1/[5-(x^2+y^2)]$ e $D={(x,y) x^2+y^2<=1 ,y<=sqrt3|x|}$
Allora ho capito che il $x^2+y^2<=1$ è tutto il cerchio interno alla circonferenza l'altra sono due rette (perchè in valore assoluto) ma che non si intersecano nel centro della circonferenza e quindi mi è difficile usare le coordinate polari.Mi spiegate voi come fareste?
Grazie
Risposte
Il centro della circonferenza $x^2+y^2=1$ è $(0,0)$.
Osserva:
$int_D 1/(5-(x^2+y^2)) dxdy$
con la parametrizzazione:
${(x=rho*cos phi),(y=rho*sin phi):}$
Con $0<=rho<=1$, $ pi/3<=phi<=2/3 pi$
Prova a continuare tu!
Osserva:
$int_D 1/(5-(x^2+y^2)) dxdy$
con la parametrizzazione:
${(x=rho*cos phi),(y=rho*sin phi):}$
Con $0<=rho<=1$, $ pi/3<=phi<=2/3 pi$
Prova a continuare tu!
scusa però io voglio capire, altrimenti chiedo sempre allora io con il mio ragionamento(sbagliato...) pensavo rifacendo la figura le due rette s'interseano in 0,0),
quindi per me l'area in questione era $2/3pi<=\theta<=4/3pi$ perchè pensavo che tutte le x dovessero stare a sinistra, mi fai capire tu come hai fatto a capire che invece dovevano ndare nell'altro modo?
Grazie mille
quindi per me l'area in questione era $2/3pi<=\theta<=4/3pi$ perchè pensavo che tutte le x dovessero stare a sinistra, mi fai capire tu come hai fatto a capire che invece dovevano ndare nell'altro modo?
Grazie mille
allora è venuto:
$int_{0}^{1} 1/(5-\rho^2) \rho d\rho int_{pi/3}^{2/3pi} d\theta=$
$pi/3 int_{0}^{1} \rho/(5-\rho^2) d\rho=pi/3 int_{0}^{1} (2\rho)/(5-\rho^2)*1/2 d\rho=$
$pi/6 [log|5-\rho^2|+c]_{0}^{1}=pi/6|log4-log5|=pi/6 log4/log5$
Secondo me ho sbagliato tutto, aiutami tu
Thanks
$int_{0}^{1} 1/(5-\rho^2) \rho d\rho int_{pi/3}^{2/3pi} d\theta=$
$pi/3 int_{0}^{1} \rho/(5-\rho^2) d\rho=pi/3 int_{0}^{1} (2\rho)/(5-\rho^2)*1/2 d\rho=$
$pi/6 [log|5-\rho^2|+c]_{0}^{1}=pi/6|log4-log5|=pi/6 log4/log5$
Secondo me ho sbagliato tutto, aiutami tu
Thanks
L'integrale è sullo spicchio che sta fra i tagli determinati dalle due rette, le rette formano un angolo di $1/3pi$ e $2/3pi$ rispetto a $x$, l'integrale che tu calcoli è corretto, a meno di un segno, infatti:
$int_{0}^{1} 1/(5-\rho^2) \rho d\rho int_{pi/3}^{2/3pi} d\theta=$
$pi/3 int_{0}^{1} \rho/(5-\rho^2) d\rho=-pi/3 int_{0}^{1} -(2\rho)/(5-\rho^2)*1/2 d\rho=$
$-pi/6 [-log|5-\rho^2|]_{0}^{1}=pi/6|-log4+log5|=-pi/6 log5/log4$
Cosa non ti convince?
$int_{0}^{1} 1/(5-\rho^2) \rho d\rho int_{pi/3}^{2/3pi} d\theta=$
$pi/3 int_{0}^{1} \rho/(5-\rho^2) d\rho=-pi/3 int_{0}^{1} -(2\rho)/(5-\rho^2)*1/2 d\rho=$
$-pi/6 [-log|5-\rho^2|]_{0}^{1}=pi/6|-log4+log5|=-pi/6 log5/log4$
Cosa non ti convince?
ciao, grazie per i suggerimenti,ma quello che ancora non ho capito è:
ho la reta $y=sqrt3x$ allora devo prendere le x che stanno a destra a sinistra, cioè come si trova qualche riferimnto per capire che il dominiio è lo spichhio tra $pi/3$ e $2/3pi$?
ho la reta $y=sqrt3x$ allora devo prendere le x che stanno a destra a sinistra, cioè come si trova qualche riferimnto per capire che il dominiio è lo spichhio tra $pi/3$ e $2/3pi$?
Esattamente hai che:
$y<=sqrt(3)|x|$
allora per $x>0$ valuti la retta $y=xsqrt(3)$ ma da questo hai che la pendenza della retta è $tg theta = sqrt(3)$ ovvero $pi/3$. Analogamente per l'altra retta ove però la pendenza è $pi-pi/3$
Vedi poi che il dominio che ti interessa è tra queste due semirette (ovvero lo spicchio tra i due angoli) e quindi procedi.
$y<=sqrt(3)|x|$
allora per $x>0$ valuti la retta $y=xsqrt(3)$ ma da questo hai che la pendenza della retta è $tg theta = sqrt(3)$ ovvero $pi/3$. Analogamente per l'altra retta ove però la pendenza è $pi-pi/3$
Vedi poi che il dominio che ti interessa è tra queste due semirette (ovvero lo spicchio tra i due angoli) e quindi procedi.
aspe la regola quindi potrebbe essere così allora se ho $y<=$ considero i valori interni come hai detto te usando la tangente con y comn segno +, mentre se avevo y>= allora prendevo i valori esterni un pò come nella dieseuqaizone di secondo grado, ti domando questo perchè nel secondo caso ovvero $y<= -xsqrt3$ mi verrebbe quasi da prendere i valori da 180°a $2/3pi$
Per vedere quale area prendere prendi un valore opportuno in una delle regioni e verifichi se la disuguaglianza vale.
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