Integrale doppio

[Enne1]

$int int|x-y|$ su $T: 1<=x^2+y^2<=4$
quando passo alle coordinate polari, come varia l'angolo?
grazie

[apatriarca]

Quella che è descritta è una corona circolare e quindi l'angolo varia in $[0,2pi)$

[Enne1]

ma la funzione è il modulo non dovrei considerare là dov'è positiva e poi moltiplicare per due?

[apatriarca]

Ma tu devi solo considerare T e non la funzione quando fai il passaggio in coordinate polari. Dopodiché fai le sostituzioni, moltiplichi per il raggio e ti risolvi l'integrale. Dovresti ottenere il seguente:
$\int_1^2 \int_0^{2pi} |\rho*\cos(\theta) - \rho*\sin(\theta)|*\rho*d\rho*d\theta$
Calcolarti gli angoli in cui il modulo è positivo lo puoi fare anche dopo... Se proprio lo vuoi fare subito vedi quando il coseno è maggiore del seno e ti trovi gli angoli da considerare.

[Enne1]

eh si quello intendevo, una volta ottenuto quello che hai scritto comunque per tirare la funzione fuori dal modulo devo considerare quando il coseno è maggiore di seno e moltiplicare per due in questo caso sarebbe da 0 a pi\4 e poi da 5\4pi a 2pi?

[apatriarca]

È inutile ritrovarsi con due intervalli, è meglio considerare ad esempio $[\frac{5pi}{4}, \frac{9pi}{4}]$.

[franced]

"Enne":$int int|x-y|$ su $T: 1<=x^2+y^2<=4$
quando passo alle coordinate polari, come varia l'angolo?
grazie

Vista la simmetria della funzione $f(x,y)$ rispetto alla retta $y=x$,
basta calcolare l'integrale:

$2 \cdot \int_{\theta_1=\pi/4}^{\theta_2=5/4 \pi} \int_{\rho_1=1}^{\rho_2=2} (\rho \sin \theta - \rho \cos \theta) \rho d \rho d \theta$

si osservi che, per $\pi/4 < \theta < 5/4 \pi$, abbiamo $y-x > 0$ e quindi ho tolto il valore assoluto.