Integrale doppio
Ciao ragazzi..
Ho un problema con questo integrale doppio
$D={(x,y):0<=x<=y^2-1}$
$\int \int _D(1-y)dxdy$
secondo le formule di riduzione trovo che l'integrale da risolvere è
$\int (\int_{0}^{1-y^2}y-(y^2/2)dy)dx
ho quindi
$\int y^2-1-(y^4+1-2y^2)/2dx$
come integro questo in dx? ho forse sbaglaito ad applicare le formule di riduzione?
Ho un problema con questo integrale doppio
$D={(x,y):0<=x<=y^2-1}$
$\int \int _D(1-y)dxdy$
secondo le formule di riduzione trovo che l'integrale da risolvere è
$\int (\int_{0}^{1-y^2}y-(y^2/2)dy)dx
ho quindi
$\int y^2-1-(y^4+1-2y^2)/2dx$
come integro questo in dx? ho forse sbaglaito ad applicare le formule di riduzione?
Risposte
Forse ho sbagliato propio ad impostare l'esercizio.. non ho ben capito come si svolgono gli integrali doppi
mi date una mano please....
mi date una mano please....
in base a quello che hai scritto ed anche in base al grafico, immagino che nel dominio ci sia $0 <= x <= 1-y^2$ (e non $y^2-1$ ). non sono intervenuta prima perché speravo che si facesse vivo qualcun altro più fresco di studi...
per quel poco che ricordo, io lascerei come integrale più esterno quello in $dx$, perché hai l'integrando in funzione di $y$. con la correzione apportata al dominio, la x assume valori compresi tra -1 e 0, e la diseguaglianza va trasformata in forma esplicita rispetto ad y: $y^2 <= 1-x$, cioè $y in [-sqrt(1-x); +sqrt(1-x)]$, per cui io procederei in questo modo:
$\int_(-1)^0\dx\int_(-sqrt(1-x))^(+sqrt(1-x))\(1-y)dy$=
=$\int_(-1)^0\dx\[y-1/2 y^2]_(-sqrt(1-x))^(+sqrt(1-x))$=
=$\int_(-1)^0\2sqrt(1-x)dx$. con la sostituzione $1-x=t$ l'integrale diventa:
$2*\int_2^1\(-t^(1/2))dt = 2*int_1^2\t^(1/2)dt=2*2/3*[t^(3/2)]_1^2=4/3*(2*sqrt(2)-1)$.
non fidarti ciecamente, ma cerca riscontri dalla teoria. ciao.
per quel poco che ricordo, io lascerei come integrale più esterno quello in $dx$, perché hai l'integrando in funzione di $y$. con la correzione apportata al dominio, la x assume valori compresi tra -1 e 0, e la diseguaglianza va trasformata in forma esplicita rispetto ad y: $y^2 <= 1-x$, cioè $y in [-sqrt(1-x); +sqrt(1-x)]$, per cui io procederei in questo modo:
$\int_(-1)^0\dx\int_(-sqrt(1-x))^(+sqrt(1-x))\(1-y)dy$=
=$\int_(-1)^0\dx\[y-1/2 y^2]_(-sqrt(1-x))^(+sqrt(1-x))$=
=$\int_(-1)^0\2sqrt(1-x)dx$. con la sostituzione $1-x=t$ l'integrale diventa:
$2*\int_2^1\(-t^(1/2))dt = 2*int_1^2\t^(1/2)dt=2*2/3*[t^(3/2)]_1^2=4/3*(2*sqrt(2)-1)$.
non fidarti ciecamente, ma cerca riscontri dalla teoria. ciao.
ti ringrazio infinitamente per l'aiuto.
Il dominio cmq è $0<=x<=y^2-1$
visto che ho capito come si svolge
mi puoi dire solo quali sono gli estremi di integrazione dei 2 integrali e come saltano fuori...
grazie mille
Il dominio cmq è $0<=x<=y^2-1$
visto che ho capito come si svolge
mi puoi dire solo quali sono gli estremi di integrazione dei 2 integrali e come saltano fuori...
grazie mille
prima di dire altre cose che non c'entrano nulla, io non sono capace di inserirti un grafico, disegna tu (su un foglio) il piano cartesiano e la parabola $x=y^2-1$. la parabola divide il piano in due regioni: in una è verificata la diseguaglianza $x < y^2-1$ e nell'altra la diseguaglianza opposta $x > y^2-1$. una volta individuata la regione, devi prendere come dominio la parte in comune con il semipiano $x >= 0$. a me sembra strano perché tale regione è infinita, comunque, intanto chiarisciti questo punto, e poi riparliamo degli estremi (che sono legati ai valori minimi e massimi che può assumere la variabile e quindi anche alle intersezioni tra le curve). io oggi vado piuttosto lentamente per problemi di collegamento immagino. ciao.
intanto grazie ancora per il tempo che mi stai dedicando...
ho provato a fare il grafico
è FORSE una cosa di questo tipo
ho provato a fare il grafico
è FORSE una cosa di questo tipo
Hai disegnato la parabola $y=x^2-1$ invece della parabola del problema che è $x=y^2-1$
la parabola ha x come asse di simmetria, non y. ma, a parte questo, tu hai $x <= y^2-1$ se prendi l'origine (0,0) e sostituisci i valori di x ed y hai $0 <= -1$ (diseguaglianza falsa), questo significa che non devi prendere la parte colorata ma la parte "esterna alla parabola". se consideri che la parabola non è quella che hai disegnato ma quella con asse di simmetria x, vuol dire che devi prendere le due parti (con x positivo) al di sopra e al di sotto della parabola "giusta".
in questo caso x varia da 0 a +infinito e $y^2 >= x+1$ da cui $y in (-oo, -sqrt(x+1))uu(+sqrt(x+1), +oo)$.
è per questo che pensavo fosse $x <= 1-y^2$, perché in tal caso la parabola avrebbe avuto vertice (1,0) e concavità rivolta verso sinistra, per cui la regione sarebbe stata la "punta" della parabola, regione finita, con le limitazioni indicate prima, ricavate da $y^2 <= 1-x$.
ciao.
in questo caso x varia da 0 a +infinito e $y^2 >= x+1$ da cui $y in (-oo, -sqrt(x+1))uu(+sqrt(x+1), +oo)$.
è per questo che pensavo fosse $x <= 1-y^2$, perché in tal caso la parabola avrebbe avuto vertice (1,0) e concavità rivolta verso sinistra, per cui la regione sarebbe stata la "punta" della parabola, regione finita, con le limitazioni indicate prima, ricavate da $y^2 <= 1-x$.
ciao.
Sul grafico ci sono... 
Non ho capito pero gli intervalli di definizione, quello dell'integrale piu esterno dovrebbe essere $int _{0}^{+oo}$ !?!?!?!?
quello piu interno nn l'ho capito...
$int _{0}^{+oo}int _{?}^{?} 1-y dx dy$
Scusami ma sono una frana in matematica
Non ho capito pero gli intervalli di definizione, quello dell'integrale piu esterno dovrebbe essere $int _{0}^{+oo}$ !?!?!?!?
quello piu interno nn l'ho capito...
$int _{0}^{+oo}int _{?}^{?} 1-y dx dy$
Scusami ma sono una frana in matematica
io lo scriverei così (ma non ci credo che sia questo...):
$int_0^(+oo)\dx (\int_(-oo)^(-sqrt(x+1))\(1-y)dy\+\int_(+sqrt(x+1))^(+oo)\(1-y)dy)$.
siccome questo è decisamente "curioso", prova a riflettere anche sull'altro, per vedere se te la caveresti a rifare un percorso più "normale". ciao.
$int_0^(+oo)\dx (\int_(-oo)^(-sqrt(x+1))\(1-y)dy\+\int_(+sqrt(x+1))^(+oo)\(1-y)dy)$.
siccome questo è decisamente "curioso", prova a riflettere anche sull'altro, per vedere se te la caveresti a rifare un percorso più "normale". ciao.
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