Integrale doppio

Sk_Anonymous
Qualcuno saprebbe darmi qualche suggerimento su come risolvere questo integrale?

$\int( int_A(x^2-y^2)dx)dy$

Dove A è l'insieme:

A={(x,y) $in RR^2$ $ /$ $ 0<=y<=x,2*(x^2+y^2+x*y)<=1}$

Non so proprio come fare ad ottenere i due intervalli di integrazione separando le x dalle y.

Grazie per l'attenzione

Risposte
ELWOOD1
in che senso separando le x dalle y?
Quell'insieme è un'ellisse che però è allineata con gli assi y=x e y=-x

Sk_Anonymous
Intendevo solo dire che dalla seconda non riesco a ricavare la x in funzione della y o viceversa...

comunque ho anche provato con coordinate polari, ma viene un disastro

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Se accetti il suggerimento di ELWOOD puoi ruotare gli assi operando il cambio di variabili corrispondente. Allora l'integrale diventa umano.

elgiovo
Io mi ricondurrei ad integrare su una fetta di circonferenza nel seguente modo:
1) ruotiamo l'ellisse $x^2+y^2+xy=1$ di $pi/4$: la trasformazione è

$[(x'),(y')]=[(1/sqrt2,-1/sqrt2),(1/sqrt2,1/sqrt2)]$, ovvero ${(x'=1/sqrt2x-1/sqrt2y),(y'=1/sqrt2x+1/sqrt2y):}$

Lo jacobiano è

$J_1=det(((del(1/sqrt2x-1/sqrt2y))/(delx),(del(1/sqrt2x-1/sqrt2y))/(dely)),((del(1/sqrt2x+1/sqrt2y))/(delx),(del(1/sqrt2x+1/sqrt2y))/(dely)))=1$,

come era lecito aspettarsi da una rotazione.
Ora è necessario "compattare" un pò l'ellisse, in modo da farla diventare la circonferenza unitaria: basta applicare la trasformazione

${(x'=1/sqrt2x),(y'=3/sqrt6 y):}$,

il cui jacobiano vale

$J_2=det(( (del(1/sqrt2x))/(delx), (del(1/sqrt2x))/(dely) ),( (del(3/sqrt6 y))/(delx), (del(3/sqrt6 y))/(dely) ))=sqrt3/2$.

Nel frattempo, la retta $y=x$ è stata mandata in $x=0$, e la retta $y=0$ in $sqrt6/3y-sqrt2x=0$, nonchè $y=sqrt3x$.
Ora si può agevolmente integrare in coordinate polari.

ELWOOD1
scusa se sembro un pò invadente...ma vorrei capire...cosa fai quando dici di "compattare" un pò l'ellisse?
grazie

Sk_Anonymous
Grazie per l'aiuto..

e con il compattare l'ellisse intende un cambiamento di coordinate lineare, per portare le lunghezze del semiasse maggiore e del semiasse minore dell'ellisse a 1, trasformando cosi l'ellisse in una circonferenza.

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