Integrale doppio
ho quest'integrale doppio:
$intint_D(x-1)ydxdy$
dove $D={(x,y):-3/4<=x^2-2x+y^2<=3$; $x>=0$; $y>=0}$
ho pensato di usare la trasformazione in coordinate polari (centrate in (1,0)).
$x=1+rhocosvartheta$
$y=rhosenvartheta$
non riesco però a stabilire come variano $rho$ e $vartheta$ è possibile fare tutto in una condizione???
$intint_D(x-1)ydxdy$
dove $D={(x,y):-3/4<=x^2-2x+y^2<=3$; $x>=0$; $y>=0}$
ho pensato di usare la trasformazione in coordinate polari (centrate in (1,0)).
$x=1+rhocosvartheta$
$y=rhosenvartheta$
non riesco però a stabilire come variano $rho$ e $vartheta$ è possibile fare tutto in una condizione???
Risposte
Il dominio è una corona circolare di raggio interno 1/2 ed esterno 2, quindi $rho$ varia tra questi due valori e $theta$ da 0 a 360...
grazie, era molto banale; scusami ma se $x>=0$ e $y>=0$ non siamo solo nel primo quadrante? quindi (forse mi sbaglio) ma $vartheta$ non dovrebbe variare da $0$ a $pi/2$???
scusami quello era riferito alla trasformazione centrata in (0,0)... però cmq non riesco a capire perchè (usando la trasformazione centrata in (1,0) )deve variare da 0 a 360 visto che ci sono quelle condizioni ($x>=0$,$y>=0$) ...
poi volevo chiedere se in questo caso è conveniente usare questa trasformazione o mi sto complicando la vita...
grazie
poi volevo chiedere se in questo caso è conveniente usare questa trasformazione o mi sto complicando la vita...
grazie
Una circonferenza centrata in $C(1,0)$ e di raggio $r$ ha equazione
$(x-1)^2+y^2=r^2 \quad -> \quad x^2-2x+y^2=r^2-1$
Nel caso del tuo dominio $D$ i due casi estremi presentano:
$r^2-1 = 3 \quad -> \quad r=2$
$r^2-1 = -3/4 \ quad -> \quad r=1/2$
Perciò, tenendo conto che deve essere anche $x>=0$ e $y>=0$ il tuo dominio è rappresentato dalla parte di corona circolare di centro $C$ e raggio compreso tra $1/2$ e $2$ che sta nel primo quadrante.
Di conseguenza $theta$ varia comunque tra $0$ e $pi$ mentre $rho$ varia tra $1/2$ e $2$ per il tratto di angolo $theta_1$ in cui la corona circolare è completa dopodiché, nell'angolo tra $theta_1$ e $pi$, $rho$ dipende da $theta$.
Vediamo come.
La circonferenza di raggio $2$ interseca l'asse y nel punto $A(0,sqrt3)$ quindi dalla trigonometria si deduce che è $theta_1=2/3pi$. Da quel punto in poi il raggio interno rimane comunque $1/2$ mentre quello esterno si accorcia. Se si considera il triangolo rettangolo $AOC$ doce $O=(0,0)$ si ha
$OC=1$
$OA=OC*(-tg theta)$
e per il teorema di Pitagora
$r(theta)=AC=sqrt(OC^2+OA^2)=sqrt(1+tg^2 theta) = -1/(cos theta)$
In sostanza il tuo dominio $D$ si può spezzare in due parti
$D=D_1+D_2$
con
$D_1={(rho,theta)|1/2<=rho<=2,0<=theta<=2/3pi}$
$D_2 = {(rho,theta)|1/2<=rho<=-1/(cos theta),2/3pi<=theta<=pi}$
Di conseguenza il tuo integrale doppio può essere spezzato nella somma di due integrali doppi, il primo svolto su $D_1$ e il secondo svolto su $D_2$.
Che ne dici?
Spero di non aver scritto troppe fesserie...
EDIT: solo un appunto: ricorda che a seguito del cambio di coordinate da $(x,y)$ a $(rho,theta)$ in ciascuno dei due integrali va introdotto il determinante della matrice jacobiana che vale $rho$.
$(x-1)^2+y^2=r^2 \quad -> \quad x^2-2x+y^2=r^2-1$
Nel caso del tuo dominio $D$ i due casi estremi presentano:
$r^2-1 = 3 \quad -> \quad r=2$
$r^2-1 = -3/4 \ quad -> \quad r=1/2$
Perciò, tenendo conto che deve essere anche $x>=0$ e $y>=0$ il tuo dominio è rappresentato dalla parte di corona circolare di centro $C$ e raggio compreso tra $1/2$ e $2$ che sta nel primo quadrante.
Di conseguenza $theta$ varia comunque tra $0$ e $pi$ mentre $rho$ varia tra $1/2$ e $2$ per il tratto di angolo $theta_1$ in cui la corona circolare è completa dopodiché, nell'angolo tra $theta_1$ e $pi$, $rho$ dipende da $theta$.
Vediamo come.
La circonferenza di raggio $2$ interseca l'asse y nel punto $A(0,sqrt3)$ quindi dalla trigonometria si deduce che è $theta_1=2/3pi$. Da quel punto in poi il raggio interno rimane comunque $1/2$ mentre quello esterno si accorcia. Se si considera il triangolo rettangolo $AOC$ doce $O=(0,0)$ si ha
$OC=1$
$OA=OC*(-tg theta)$
e per il teorema di Pitagora
$r(theta)=AC=sqrt(OC^2+OA^2)=sqrt(1+tg^2 theta) = -1/(cos theta)$
In sostanza il tuo dominio $D$ si può spezzare in due parti
$D=D_1+D_2$
con
$D_1={(rho,theta)|1/2<=rho<=2,0<=theta<=2/3pi}$
$D_2 = {(rho,theta)|1/2<=rho<=-1/(cos theta),2/3pi<=theta<=pi}$
Di conseguenza il tuo integrale doppio può essere spezzato nella somma di due integrali doppi, il primo svolto su $D_1$ e il secondo svolto su $D_2$.
Che ne dici?
Spero di non aver scritto troppe fesserie...
EDIT: solo un appunto: ricorda che a seguito del cambio di coordinate da $(x,y)$ a $(rho,theta)$ in ciascuno dei due integrali va introdotto il determinante della matrice jacobiana che vale $rho$.
Si mi sembra giusto... 
per bacco... quindi mi sa che mi conviene applicare le coordinate centrate in (0,0) mi viene solo un integrale leggermente + complicato ma non devo fare tutto questo discorso... o mi sbaglio?voi che strada suggerite?
E scusa se le centri nell'origine, poi come descrivi il dominio?
Mi sbagliavo... Ora che c ho riflettuto, non è proprio possibile centrarlo in (0,0)...
Grazie per l'aiuto!
Grazie per l'aiuto!
Di niente.
Buona integrazione!
Buona integrazione!
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