Integrale doppio
ciao a tutti,vorrei vedere voi come risolvete questo integrale doppio,per confrontare il risultato, l'esercizio è:
l'integrale doppio sul dominio D di y/(1+x)^2 dxdy
D={(x,y)appartenenti a R^2 : (x^2+y^2) compresi tra 1/9 e 1/4; y compreso tra (rad3)x e 0; x maggiore di zero}
grazie a tutti ciao
l'integrale doppio sul dominio D di y/(1+x)^2 dxdy
D={(x,y)appartenenti a R^2 : (x^2+y^2) compresi tra 1/9 e 1/4; y compreso tra (rad3)x e 0; x maggiore di zero}
grazie a tutti ciao
Risposte
Confermi che l'esercizio richiede:
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy:D={(x,y)\inRR^2:1/9<=x^2+y^2<=1/4,0<=y<=\root[3]{x},x>=0}$
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy:D={(x,y)\inRR^2:1/9<=x^2+y^2<=1/4,0<=y<=\root[3]{x},x>=0}$
ops, scusami ma la xè <= di zero
quindi la (rad3)x<=y<=0
quindi la (rad3)x<=y<=0
Forse sarò un pò arrugginito ma non mi sembra molto immediato, soprattutto gli estremi d'integrazione sono un pò poco "standard"...
in effetti, la D dell'esercizio nn è il vero e proprio dominio,devi disegnarlo infatti il dominio è la parte di piano in comune tra quelle disequazioni ,cioè lo spicchio di corono circolare r=1/3 e R=1/2 compresa nel terzo quadrante con l'angolo tra pigreca e 4/3 pigreca,spero di essere stato chiaro..
Ok il dominio l'avevo disegnato anche io, ma è si una corona circolare intersecata con l'area compresa tra l'asse x e la funzione $y=\root[3]{x}$. è proprio per quest'ultima intersezione che il tutto diventa piu complicato, infatti se la funzione è davvero quella, il dominio non è normale rispetto a x nè a y e neppure rispetto a r, quindi neanche le cooordinate polari aiutano piu di tanto...
scusa l'ignoranza ma tu \root[3]{x} intendi x moltiplicato radical3?
se si,è quello il dominio dell'esercizio...
se si,è quello il dominio dell'esercizio...
Ahah!!! tu non vedi le formule che io scrivo con MathML... Io avevo inteso radice cubica di x... Allora si è molto piu semplice...

OOK!! Allora se il dominio allora è questo: $D={(x,y)\inRR^2:1/9\leqx^2+y^2\leq1/4,\sqrt{3}x\leqy\leq0,x\leq0}$ svolgiamo il seguente integrale portato in forma polare, ricordandoci di aggiungere lo Jacobiano della trasformazione.
Quindi:
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy=\int_C{\rho^2\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\rhod\theta=\int_{1/3}^{1/2}\rho(\int_\pi^{4/3\pi}{\rho\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\theta)d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho[1/{1+\rho\cos\theta}]_\pi^{4/3\pi}d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho^2/{(1-\rho)(\rho-2)}d\rho=[\ln((\rho-1)/(\rho-2)^4)-\rho]_{1/3}^{1/2}=\ln(2500/2817)-1/6$
Quindi:
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy=\int_C{\rho^2\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\rhod\theta=\int_{1/3}^{1/2}\rho(\int_\pi^{4/3\pi}{\rho\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\theta)d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho[1/{1+\rho\cos\theta}]_\pi^{4/3\pi}d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho^2/{(1-\rho)(\rho-2)}d\rho=[\ln((\rho-1)/(\rho-2)^4)-\rho]_{1/3}^{1/2}=\ln(2500/2817)-1/6$