Integrale doppio

ing.mecc1
ciao a tutti,vorrei vedere voi come risolvete questo integrale doppio,per confrontare il risultato, l'esercizio è:

l'integrale doppio sul dominio D di y/(1+x)^2 dxdy

D={(x,y)appartenenti a R^2 : (x^2+y^2) compresi tra 1/9 e 1/4; y compreso tra (rad3)x e 0; x maggiore di zero}

grazie a tutti ciao

Risposte
cavallipurosangue
Confermi che l'esercizio richiede:
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy:D={(x,y)\inRR^2:1/9<=x^2+y^2<=1/4,0<=y<=\root[3]{x},x>=0}$

ing.mecc1
ops, scusami ma la xè <= di zero
quindi la (rad3)x<=y<=0

cavallipurosangue
Forse sarò un pò arrugginito ma non mi sembra molto immediato, soprattutto gli estremi d'integrazione sono un pò poco "standard"...

ing.mecc1
in effetti, la D dell'esercizio nn è il vero e proprio dominio,devi disegnarlo infatti il dominio è la parte di piano in comune tra quelle disequazioni ,cioè lo spicchio di corono circolare r=1/3 e R=1/2 compresa nel terzo quadrante con l'angolo tra pigreca e 4/3 pigreca,spero di essere stato chiaro..

cavallipurosangue
Ok il dominio l'avevo disegnato anche io, ma è si una corona circolare intersecata con l'area compresa tra l'asse x e la funzione $y=\root[3]{x}$. è proprio per quest'ultima intersezione che il tutto diventa piu complicato, infatti se la funzione è davvero quella, il dominio non è normale rispetto a x nè a y e neppure rispetto a r, quindi neanche le cooordinate polari aiutano piu di tanto...

ing.mecc1
scusa l'ignoranza ma tu \root[3]{x} intendi x moltiplicato radical3?
se si,è quello il dominio dell'esercizio...

cavallipurosangue
Ahah!!! tu non vedi le formule che io scrivo con MathML... Io avevo inteso radice cubica di x... Allora si è molto piu semplice... :wink:

cavallipurosangue

cavallipurosangue
OOK!! Allora se il dominio allora è questo: $D={(x,y)\inRR^2:1/9\leqx^2+y^2\leq1/4,\sqrt{3}x\leqy\leq0,x\leq0}$ svolgiamo il seguente integrale portato in forma polare, ricordandoci di aggiungere lo Jacobiano della trasformazione.
Quindi:
$\int_Dy/{(1+x)^2}dxdy=\int_C{\rho^2\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\rhod\theta=\int_{1/3}^{1/2}\rho(\int_\pi^{4/3\pi}{\rho\sin\theta}/{(1+\rho\cos\theta)^2}d\theta)d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho[1/{1+\rho\cos\theta}]_\pi^{4/3\pi}d\rho=\int_{1/3}^{1/2}\rho^2/{(1-\rho)(\rho-2)}d\rho=[\ln((\rho-1)/(\rho-2)^4)-\rho]_{1/3}^{1/2}=\ln(2500/2817)-1/6$

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