Integrale doppio

[markitiello1]

Salve ragazzi sono alle prese con questo integrale doppio esteso a D

$int_d|xy|dxdy$

dove d è dato: $d={(x,y) in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=4, y>=0}$

ora io ho risolto trovandomi un dominio normale con il passaggio a coordinate polari dove:

$1
e quindi sono passato all'integrale:

$int_d|xy|dxdy = int_0^pi/2 |cost theta*sen theta|d theta int_1^2 rho^2 drho $
$7/3*int_0^pi cost theta*sen theta d theta + int_pi^pi/2 -cost theta*sen theta d theta$
$7/3 (1/2-0) + (1/2-1)=7/3$

Vi trovate con me?

Grazie a tutti.
Ps. $int_0^pi/2$ sarebbe l'integrale definito tra 0 e $pi/2$

Marko

[cavallipurosangue]

Quando fai questa sostituzione devi ricordare anche i differenziali! Se fai il determinante della matrice Jacobiana, ottieni $\rho$, quindi: $dxdy=\rhod\rhod\theta$.
Detto questo si ha:
$\int_C|xy|dxdy=\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\pi|sin\theta\cos\theta|d\theta=\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^(\pi/2)\sin(2\theta)d\theta=15/8[-cos(2\theta)]_0^(\pi/2)=15/8$

[markitiello1]

"cavallipurosangue":Quando fai questa sostituzione devi ricordare anche i differenziali! Se fai il determinante della matrice Jacobiana, ottieni $\rho$, quindi: $dxdy=\rhod\rhod\theta$.
Detto questo si ha:
$\int_C|xy|dxdy=\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\pi|sin\theta\cos\theta|d\theta=1/2\int_1^2\rho^3d\rho\int_0^\pi\sin(2\theta)d\theta=15/8[-cos(2\theta)/2]_0^\pi=15/16$

Già hai ragione me ne ero dimenticato...

Mi spiegheresti perchè.

$int_0^\pi|sin\theta\cos\theta|d\theta=1/2\int_0^\pi\sin(2\theta)d\theta$

questo itegrale non andrebbe sdoppiato in due? Uno contenente i valori per cui $sen\theta\*\cos\theta\>0$ e quando $sen\theta\*\cos\theta\<0$?

Grazie per la risposta.
Marko!

[cavallipurosangue]

Ah si hai ragione! mentalmente ho pensato sin(x/2)...

[cavallipurosangue]

Comunque non c'è bisogno di spezzare l'integrale: basta notare che:
$\int_0^\pi|\sin(2x)|dx=2\int_0^(\pi/2)\sin(2x)dx$, dato che in questo ultimo intervallo la funzione è sempre positiva.

[markitiello1]

"cavallipurosangue":Comunque non c'è bisogno di spezzare l'integrale: basta notare che:
$\int_0^\pi|\sin(2x)|dx=2\int_0^(\pi/2)\sin(2x)dx$, dato che in questo ultimo intervallo la funzione è sempre positiva.

ti ringrazio gentilissimo.

Marko.

[cavallipurosangue]

Non c'è di che...