Integrale doppio
int. (x/x^2+y^2) dxdy
sull'insieme: (y^2 < x < 2y^2) ; (-1 < x < 1)
BooTzenN
sull'insieme: (y^2 < x < 2y^2) ; (-1 < x < 1)
BooTzenN
Risposte
uhm c'è qualcosa che non mi quadra sulla forma del tuo dominio...
sei sicuro che sia corretta la trascrizione??
sei sicuro che sia corretta la trascrizione??
Guarda, anchio credo ci sia qualcosa di sbagliato nella scrittura del dominio.
Cmq facendo finta che il dom sia normale risp a x e che sia y ad essere compreso tra -1 e 1 a me viene log(3/2).
Non ti riporto i passaggi perchè cmq credo sia sbagliato.
Platone
Cmq facendo finta che il dom sia normale risp a x e che sia y ad essere compreso tra -1 e 1 a me viene log(3/2).
Non ti riporto i passaggi perchè cmq credo sia sbagliato.
Platone
sul dominio sono sicuro, è questo:
tra le 2 parabole e le rette y=+1,y=-1.
BooTzenN
tra le 2 parabole e le rette y=+1,y=-1.
BooTzenN
Quindi effettivamente e' la y ad essere compresa tra -1 e 1.
A questo p.to credo che la soluzione che ti ho dato prima sia corretta.
La vadiabile x e' compresa tra g(y) e h(y) (le due parabole) e quindi il dominio e' normale risp alla x.
llora la primitiva della funzione da integrare e' (risp a x) (1/2)log(x^2+y^2) e calcolandola tra y^2 e 2y^2 viene (1/2)log(3/2).
Integrando risp a y tra -1 e 1 si ha log(3/2).
Sono aperte le critiche, anche perche' non sono sicuro di aver fatto bene.
Platone
A questo p.to credo che la soluzione che ti ho dato prima sia corretta.
La vadiabile x e' compresa tra g(y) e h(y) (le due parabole) e quindi il dominio e' normale risp alla x.
llora la primitiva della funzione da integrare e' (risp a x) (1/2)log(x^2+y^2) e calcolandola tra y^2 e 2y^2 viene (1/2)log(3/2).
Integrando risp a y tra -1 e 1 si ha log(3/2).
Sono aperte le critiche, anche perche' non sono sicuro di aver fatto bene.
Platone
ciao platone scusa cosa ti viene come risultato:
log(3/2) giusto??
boh proverò a rifarlo...
BooTzenN
log(3/2) giusto??
boh proverò a rifarlo...
BooTzenN
Si. Non ti e' chiar la spiegazione (anche se non so se corretta) che ti ho postato?
Platone
Platone
si grazie.provo a rifare i calcoli perchè a me non esce log 3/2
BooTzenN
BooTzenN
Il risultato da me ottenuto è:
atan(1/3) + ln(5/2) - pi/4 = 0,4526
atan(1/3) + ln(5/2) - pi/4 = 0,4526
Mamo mi puoi spiegare il procedimento che hai seguito??
hai int tra 0-1 e poi tra 1-2??
BooTzenN
hai int tra 0-1 e poi tra 1-2??
BooTzenN
E se puoi mi dici anche dove ho sbagliato io?
Platone
Platone
Ho semplicemente integrato (con derive) la funzione (tra y^2 e 2y^2) rispetto ad x e poi (tra -1 e 1) rispetto ad y.
quote:
Originally posted by Platone
.... la funzione da integrare e' (risp a x) (1/2)log(x^2+y^2) e calcolandola tra y^2 e 2y^2 viene (1/2)log(3/2).
....
Platone
Platone, il tuo errore è questo. Il risultato dell'integrale (rispetto ad x) tra y^2 e 2y^2 è:
(1/2)ln[(1 + 4y^2)/(1 + y^2)].
Scusa la cocciutagine, ma perche'?
Qella e' la primitiva rispetto a y, non a x.
Platone
Qella e' la primitiva rispetto a y, non a x.
Platone
Come hai detto tu nel post iniziale, la primitiva rispetto ad x viene:
(1/2)ln(x^2 + y^2)
Sostituendo gli estremi di integrazione (al posto della x) si ottiene:
(1/2)[ln(4y^4 + y^2) - ln(y^4 + y^2)] = (1/2)ln[(1 + 4y^2)/(1 + y^2)].
(1/2)ln(x^2 + y^2)
Sostituendo gli estremi di integrazione (al posto della x) si ottiene:
(1/2)[ln(4y^4 + y^2) - ln(y^4 + y^2)] = (1/2)ln[(1 + 4y^2)/(1 + y^2)].
Si tratta semplicemente di applicare la tecnica delle integrazioni successive. La funzione da integrare, se ho ben inteso, è…
f(x,y)= x/(x^2+y^2) (1)
… e i limiti di integrazione sono…
-1
Dal momento che nella (1) se si cambia y in –y la funzione non cambia si può eseguite l’integrazione sul solo primo quadrante e poi moltiplicare per 2 il risultato. Otteniamo così…
I= Int [0
Ricordando che…
Int x/(x^2+y^2) dt = ½ ln (x^2+y^2) + c (4)
… si ha che l’integrale in y vale…
Int [y^2
½ ln [(1+4*y^2)/ (1+y^2)] (5)
A questo punto integriamo in y e moltiplichiamo per 2. Ricordando che…
Int ln (1+x^2) dx = x*ln (1+x^2) –2*x + 2* atn x (6)
… otteniamo…
I= ½ * Int [0
ln (5/2) + atn 2 – pi/2 = .45264… (7)
Questo naturalmente salvo errori da parte mia…
cordiali saluti
lupo grigio
f(x,y)= x/(x^2+y^2) (1)
… e i limiti di integrazione sono…
-1
Dal momento che nella (1) se si cambia y in –y la funzione non cambia si può eseguite l’integrazione sul solo primo quadrante e poi moltiplicare per 2 il risultato. Otteniamo così…
I= Int [0
Ricordando che…
Int x/(x^2+y^2) dt = ½ ln (x^2+y^2) + c (4)
… si ha che l’integrale in y vale…
Int [y^2
½ ln [(1+4*y^2)/ (1+y^2)] (5)
A questo punto integriamo in y e moltiplichiamo per 2. Ricordando che…
Int ln (1+x^2) dx = x*ln (1+x^2) –2*x + 2* atn x (6)
… otteniamo…
I= ½ * Int [0
ln (5/2) + atn 2 – pi/2 = .45264… (7)
Questo naturalmente salvo errori da parte mia…
cordiali saluti
lupo grigio
MaMo hai ragione, nel sostituire non ho elevato al quadrato.
Platone
Platone
MaMo hai ragione, nel sostituire non ho elevato al quadrato.
Platone
Platone
grazie lupo mi sa che il tuo risultato finale è quello giusto!!
mi ero un po' bloccato sull'integrale di log (1+x^2) dx !!!!!
grazie a tutti!
BooTzenN
mi ero un po' bloccato sull'integrale di log (1+x^2) dx !!!!!
grazie a tutti!
BooTzenN
Già, però si da il caso che anche il risultato dato da MaMo [il quale ha detto di essdersi servito di Derive...] è 'giusto' in quanto fornisce lo steso risultato nuemerico. Ecco i due risultati...
a) ln (5/2) + atn 2 – pi/2
b) ln (5/2) + atan(1/3) - pi/4
Entrambi forniscono lo stesso valore, vale a dire .4526... Dal che si dovrebbe dedurre che...
atn 2 -pi/2 = atn (1/3) -pi/4 (1)
Inoltre è evidente che Derive utilizza un procedimento diverso da quello 'standard' [ o, se vogliamo, quello usato dagli 'umani'...] per il calcolo degli integrali...
cordiali saluti
lupo grigio
a) ln (5/2) + atn 2 – pi/2
b) ln (5/2) + atan(1/3) - pi/4
Entrambi forniscono lo stesso valore, vale a dire .4526... Dal che si dovrebbe dedurre che...
atn 2 -pi/2 = atn (1/3) -pi/4 (1)
Inoltre è evidente che Derive utilizza un procedimento diverso da quello 'standard' [ o, se vogliamo, quello usato dagli 'umani'...] per il calcolo degli integrali...
cordiali saluti
lupo grigio
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